Prouver qu'une expression est un multiple de 7

[Pigo]

Bonjour à tous/toutes

Un exercice me demande de prouver que 3^(2p) - 2^(p - 3) est multiple de 7 pour tout p de N et p >= 3. En utilisant la récurence.

1) Initialisation : J'ai donc prouvé que c'était vrai pour p = 3 en faisant ceci :

On a avec p = 3 :
3^(2p) - 2^(p - 3) = 728 = 7 * 104
donc propriété vraie pour p = 3

2) Hérédité : Je cherche donc à prouver que pour p + 1, 3^(2p+1) - 2^(p -2) est un multiple de 7 :

On a p + 1, donc on utilise 3^(2p+1) - 2^(p-2)
Donc 3^(2p+1) - 2^(p -2) = 7 * [ 3^(2p+1) - 2^(p -2) ] / 7

Et là je coince !
Si je réussi à prouver que [ 3^(2p+1) - 2^(p -2) ] / 7 est un entier, j'ai réussi. Mais je ne vois pas du tout comment faire !
Auriez-vous une idée ?
Il y peut-être une méthode plus simple ?

Merci !

[Pigo]

Toujours pas de solution depuis 3h de brouillon intense ...

J'en suis juste arrivé à chercher que :

9^(p+1) - 2^(p-2) = 7m avec m entier naturel >= 3

Mais pas moyen de trouver ... auriez-vous une idée ?

[Antho07]

Bon Reprenons tous cela.

Il faut donc montrer que


7 divise


Tu as fais l'initialisation, pas de soucis.

Pour l'hérédité, on suppose la formule vrai au rang p et on veut montrer que si ce resultat est vrai alors c'est encore vrai au rang p+1.

Donc il faut montrer que si 7 divise , alors

7 divise

soit



Bidouillons un peu



et là, petite astuce , utilise le fait que 9=7+2 et tu devrais pouvoir conclure en 2 lignes
Reposte si tu n'y arrives pas

[Pigo]

Coucou,

ne serait-ce pas plutôt :

3^(2p+2) - 2^(p-2) = 9*3^(2p) - 2^(2p)

Je me trompe ? ^^

Du coup à la fin je tombe sur ce résultat :

3^(2p+2) - 2^(p-2) = 7*3^(2p) + 2 * (3^(2p) - 2^(p-3))

Donc on a un bout multiple de 7, et l'autre bout c'est comme 2 * 7m

Donc multiple de 7.