Est-ce possible?

[pierrelouisbourgeois]

Bonsoir,

Je voulais savoir s'il était possible de résoudre un système tel et si oui comment :

x+y<100
x^2+y^2 = 2500

Merci à vous et bonne soirée.

[lyceen95]

Cet exercice, c'est ton prof qui te l'a posé. Et comme les profs ne sont pas des sadiques, tu peux partir du principe : oui, c'est possible de résoudre cet exercice.

Ici, tu as d'abord une inéquation : x+y<100 ; sais-tu résoudre cette inéquation ?
Et tu as une équation : x²+y²=2500 : sais-tu résoudre cette équation ?

Indice : dans la solution, il y aura un de ces 3 mots : triangle / cercle / parabole. A toi de trouver lequel.

[GaBuZoMeu]

On peut se demander ce que veut dire "résoudre" ici. Donner une description géométrique de l'ensemble des solutions ?
Quelle est la consigne exacte ?

[pierrelouisbourgeois]

En fait, j'ai cet exercice à faire:

Un agriculteur possède un champ en forme de triangle rectangle au bord d'une rivière. Il souhaite le clôturer. Il sait que AB= 50 mètres
Quelles longueurs minimale et maximale de clôture doit-il acheter ?

[img]forum_649893_1.jpg[/img]

Je voulais donc essayer ce système mais l'inéquation est fausse donc je vais essayer autre chose

[lyceen95]

Tes 2 messages concernent le même exercice ?????

[pierrelouisbourgeois]

Oui mais j'ai du mal à bien comprendre l'énoncé et donc je pars dans tous les sens...

[lyceen95]

On ne peut pas voir l'image que tu as insérée, donc difficile de t'aider.
Regarde ce lien : guide-utilisation-f41/comment-inserer-une-image-t174537.html#p1153719
Ca explique comment insérer une image.

En fait, même sans l'image, on arrive plus ou moins à reconstituer l'exercice.
Notre agriculteur veut cloturer un champ en forme de triangle rectangle. L'hypothénuse de ce triangle rectangle, c'est AB=50m. On peut donc placer le 3ème sommet où on veut, à condition que le triangle ABC soit rectangle en C.
Et on demande donc la somme des longueurs des 2 cotés AC et BC.

Déjà, on sait qu'il faudra au moins 50 m de clôture : le plus court chemin entre les 2 points A et B est la ligne droite, donc AC+BC sera au moins égal à AB.
Longueur minimale = 50m.

Pour la longueur maximale, il y a une piste possible, si tu connais les notions de dérivées. Je pense qu'au niveau lycée, c'est la réponse attendue. (mais pas sûr, quel est le chapitre que vous êtes en train d'étudier ?)

Dans ton premier message, tu écrivais x²+y²=2500. Ok, c'est la bonne direction ... mais redis-nous quand même comment tu arrives à cette équation.
Tu écrivais aussi x+y<100. Bof, ce n'est pas faux, mais ce n'est pas utile pour résoudre cet exercice.

[pierrelouisbourgeois]

Merci pour ta réponse,

pour la photo, tu peux rentrer l'url suivant (quand tu vas dans image cela fonctionne) :

forum_649893_1.jpg

En ce qui concerne le problème, j'ai nommé x et y les cotés manquants soit AC=x et BC=y

Ainsi selon le théorème de Pythagore, étant donné que le champ est un triangle rectangle, on a x^2 + y^2 = 50^2 soit x²+y²=2500

Nous étudions le second degré en ce moment et n'avons pas encore vu les dérivées.

[pierrelouisbourgeois]

Je voudrais juste reprendre l'énoncé pour le préciser :
Un agriculteur possède un champ en forme de triangle rectangle au bord de la rivière. Il souhaite poser une clôture sauf sur le côté qui jouxte la rivière et il sait que AB=50.

Quelles longueurs minimale et maximale de clôture doit-il acheter?

Mais si la longueur minimale de clôture soit AC+BC = 50, alors on peut imaginer le point C se situerait sur AB. Ainsi une clôture serait sur le côté qui jouxte la rivière mais l'agriculteur souhaite lui :"poser une clôture sauf sur le côté qui jouxte la rivière".

Qu'en penses-tu?

[pierrelouisbourgeois]

C'est de ma faute je n'avais pas bien réécrit le problème, pardon.

[lyceen95]

Si le point C est prêt du point A , à 2 ou 3 mètres du point A (ou idem du point B) , et si on fait en sorte que le triangle soit rectangle en C, alors ça fait bien un triangle rectangle. Très fin certes, mais c'est un triangle rectangle.
Et la longueur de clôture nécessaire est environ 52 ou 53m moins quelques centimètres.
Et plus on rapproche notre point C du point A, plus la longueur de clôture nécessaire diminue, et se rapproche de 50m.
A la limite (ce mot aura un sens mathématique pour toi à la fin du lycée), si le point C est à 1 millimètre du point A, il nous faut une clôture de 50m + 1 millimètre. Et si on rapproche encore le point C du point A, on se rapproche encore de 50m.
Donc la longueur minimum est de 50m.

Pour le point qui correspond à la longueur maximale, je ne sais pas trop quelle est la méthode attendue à ton niveau.
Est-ce que tu sais faire un dessin avec tous les points C possibles : tous ceux pour lesquels le triangle ACB est rectangle en C ?

[pierrelouisbourgeois]

Ok, j'ai bien compris pour la longueur minimale mais pour le dessin je vais essayer de chercher.

[pierrelouisbourgeois]

Je dirai instinctivement que c'est lorsqu'on a un triangle rectangle isocèle que le périmètre est maximal et donc que x = y?

[pierrelouisbourgeois]

Si ABC est un triangle rectangle isocèle en c, on a :
x = y

Donc on peut écrire :

x²+y²=2500
x²+x²=2500
2x²=2500
x²=2500
x1=√2500 et x2= -√2500

Seul x1 nous intéresse car x2 est négatif, ainsi la longueur de la clôture max serait égal à :
2x1 = 2√2500
soit environ égal à 70,7 mètres.

[lyceen95]

Exact.

[pierrelouisbourgeois]

Merci beaucoup pour le coup de main. Bonne soirée

[lyceen95]

Une dernière info sur cet exercice : notons O le milieu de AB. L'ensemble des positions autorisées pour le point C, autrement dit l'ensemble des points C pour lesquels le triangle ACB est rectangle en C, c'est le demi-cercle de centre O et de rayon OA.