[Résolu] méthode de récurrence

[haricot29]

Coucou tout le monde ! :happy2:
Voila j'ai un devoir libre a faire en maths et je viens chercher de l'aide pour le faire, j'ai l'habitude de venir sur ce forum ou en général l'aide est satisfaisante. Mon objectif comprendre ce que je fais donc je mets l'énoncé et tente de le résoudre tout en écoutant vos propositions pr réussir a le faire. Merci d'avance !!!

Exercice :
1/ Montrer que pour tout entier naturel n on a : zigma k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 avec k=1 jusqu'a n.

2/ Montrer que pour tout réel x >= 0 et pour tout entier naturel n on a : (1+x)puissance n >= 1+nx

Voila je commence a les chercher dès que j'ai quelque chose je le mets si vous avez des pistes je prends tout...

[haricot29]

1/ Montrer que pour tout entier naturel n on a : zigma k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 avec k=1 jusqu'a n.

P(n) : " zigma k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 avec k=1 jusqu'a n. "

- initialisation : pour n=1
(n(n+1)(n+2))/3 = (2*3)/3 = 2
k(k+1) = 1*(1+1) = 2
la propriété P(n) est vraie pour n=1

-hérédité : Soit n E N*
Supposons que k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 (HR)
Montrons que (k+1)(k+2) = ((n+1)(n+2)(n+3))/3

-démonstration :

Jusque là c'est ok ou pas, ma supposition et ce que je veux montrer dans mon hérédité c'est correct ? :hein:

[anima]

1/ Montrer que pour tout entier naturel n on a : zigma k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 avec k=1 jusqu'a n.

P(n) : " zigma k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 avec k=1 jusqu'a n. "

- initialisation : pour n=1
(n(n+1)(n+2))/3 = (2*3)/3 = 2
k(k+1) = 1*(1+1) = 2
la propriété P(n) est vraie pour n=1

-hérédité : Soit n E N*
Supposons que k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 (HR)
Montrons que (k+1)(k+2) = ((n+1)(n+2)(n+3))/3

-démonstration :

Jusque là c'est ok ou pas, ma supposition et ce que je veux montrer dans mon hérédité c'est correct ? :hein:

cela me semble correct :we:

[haricot29]

aurais-tu une proposition a me faire pour démarrer ma démo car je ne vois pas trop... :doh:

[haricot29]

Ouou y a pas quelqu'un pourrait me filer un coup de pouce je n'arrive pas a trouver par quoi commencer pr me lancer dans ma démo.... :hum:

[haricot29]

:briques:
un petit coup de pouce je vous en prie.... :/

[haricot29]

Oh Secours Jvous En Supplit

[haricot29]

Merci pour ta vérif mais je n'arrives pas a démarrer ma démo, quelqu'un aurait-il la gentilesse de me filer un petit coup de main ?! :doh:

[haricot29]

Bon comme j'arrives pas la démo de la 1ere, je me suis lancée a la 2eme :

2/ Montrer que pour tout réel x >= 0 et pour tout entier naturel n on a : (1+x)puissance n >= 1+nx

P(n) : « (1+x)puissance n >= 1+nx »

-initialisation : pour n=0
(1+x)puissance 0 = 1
1+nx = 1
P(n) est vraie pour n=0

-hérédité : Soit n E N
Supposons que (1+x)puissance n >= 1+nx (HR)
Montrons que (1+x)puissance n+1 = 1+ (n+1)x

-démonstration :


jusque la pour celle la c'est ok ? Grrr j'aime pas les démos je ne sais jamais par ou me lancer.... :marteau:

[haricot29]

SVP franchement personne ne peut me filer un coup de main pour c'est 2 questions d'exos mon probleme est que je ne n'arrive pas a démarrer mes demonstrations ! :hein: :hein:

[haricot29]

Bon ben tampis je vais continuer a galérer... je reviens demain pour voir si quelqu'un peut m'aider ! tchao bonne soirée a tous Kiss :happy2:

[Quidam]

...sur ce forum ou en général l'aide est satisfaisante

Trop aimable ! Merci, monsieur l'inspecteur !

1/ Montrer que pour tout entier naturel n on a : zigma k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 avec k=1 jusqu'a n.

On ne dit pas zigma, mais sigma : il s'agit du nom de la lettre grecque (pour ton info !)
On ne dit pas "Montrer que sigma k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 avec k=1 jusqu'a n" mais plutôt "Montrer que sigma de k(k+1) pour k=1 jusqu'a n = (n(n+1)(n+2))/3 "
Avec latex ça donne : Montrer que .
Bon, évidemment, tu vas me dire que tu ne connais pas Latex, mais avec 204 messages, je pense que tu as eu le temps d'apprendre... Dépêche-toi donc d'en apprendre un minimum...

Alors tu demandes si ta démonstration est correcte :

- initialisation : pour n=1
(n(n+1)(n+2))/3 = (2*3)/3 = 2
k(k+1) = 1*(1+1) = 2
la propriété P(n) est vraie pour n=1

-hérédité : Soit n E N*
Supposons que k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 (HR)
Montrons que (k+1)(k+2) = ((n+1)(n+2)(n+3))/3

En gros, c'est bon ! Mais c'est très très mal dit ; il faut corriger cela :
- initialisation : pour n=1
(n(n+1)(n+2))/3 = (2*3)/3 = 2
somme de k=1 à 1 de k(k+1) = 1*(1+1) = 2
la propriété P(n) est vraie pour n=1

-hérédité : Soit n E N*
Supposons que somme de k=1 à n de k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3 (HR)
Montrons que somme de k=1 à n+1 de k(k+1) = ((n+1)(n+2)(n+3))/3

Et pour faciliter les manipulations, je te suggère de donner des noms ; par exemple, S(n) = somme de k=1 à n de k(k+1). Tu peux alors écrire plus proprement :
Supposons que S(n) = (n(n+1)(n+2))/3 (HR)
Montrons alors que S(n+1) = ((n+1)(n+2)(n+3))/3

J'admets que ton approche est correcte : mais la rédaction est importante pour prouver que tu as compris le principe.

[Quidam]

Bien sûr, il faut la faire cette fameuse démonstration !
Maintenant que les choses sont claires, c'est plus facile :




Tu as supposé que et tu veux démontrer que . Bon, eh bien, tu pars de et tu n'as qu'à constater que et par conséquent calculer comme :



Tu n'as plus qu'à simplifier cette expression, en espérant tomber sur

Courage !

[Quidam]

-initialisation : pour n=0
(1+x)puissance 0 = 1
1+nx = 1
P(n) est vraie pour n=0

-hérédité : Soit n E N
Supposons que (1+x)puissance n >= 1+nx (HR)
Montrons que (1+x)puissance n+1 = 1+ (n+1)x

-démonstration :

J'ai à peu près les mêmes remarques... Je corrige :

-initialisation : pour n=0
(1+x)puissance 0 = 1
1+nx = 1
P(n) est vraie pour n=0

-hérédité : Soit n E N
Supposons que (1+x)puissance n >= 1+nx (HR)
Montrons que (1+x)puissance (n+1) >= 1+ (n+1)x

-démonstration :
(d'après HR)


A toi de terminer...

[haricot29]

Ok merci pour ton aide ! et tu le croira peut etre pas mais apréq 204 message non jen e sais pas me servir de latex je ne sais meme pas comment on fait pour faire ça... :hein:

si je continue ce que tu as commencé :
(1+x)puissance (n+1) >= (1+nx)(1+x)
(1+x)puissance (n+1) >= 1 + nx +x+n(x)²
or 1+(n+1)x = 1+nx+x
donc 1 + nx+x+n(x)² >= 1+nx+x car n E N et que x² positif
dc si (1+x)puissance (n+1) >= 1 + nx+x+n(x)²
alr (1+x)puissance (n+1) >= 1+(n+1)x

-conclusion : quelque soit n E N : (1+x) puissance n >= 1+nx

Yes ! Merci :happy2:

[haricot29]

pour la 1/
Sn+1 = Sn + (n+1)(n+2)
= (n (n+1) (n+2) + (3n+3)(3n+6))/3
= (n^3 + 3n² + 2n 9n² + 9n + 18n + 18)/3
= (n^3 +12n² + 29n +18)/3

je ne sias pas comment montrer que c'est = à : ((n+1)(n+2)(n+3))/3 pourtant cela l'ai bien car qd on remplace pr un nombre quelkonque c'est ok ?!

[haricot29]

non c'est bon pr la 1/ j'ai dévelloper différement : dévelloper (n+1)(n+2) avt de le mettre sur le meme denominateur est c'est ok j'y arrive !

[Quidam]

non c'est bon pr la 1/ j'ai dévelloper différement : dévelloper (n+1)(n+2) avt de le mettre sur le meme denominateur est c'est ok j'y arrive !

C'est bien que tu y sois arrivé seul !

Mais il ne faut pas "dévelloper (n+1)(n+2) avt de le mettre sur le meme denominateur", il faut simplement profiter des facteurs communs évidents !



Tel quel, on voit les deux facteurs (n+1)(n+2) :

[Quidam]

tu le croira peut etre pas mais apréq 204 message non jen e sais pas me servir de latex je ne sais meme pas comment on fait pour faire ça... :hein:

Si, si je te crois ! Facile, je l'ai constaté !

Hum, je sens que je vais devoir me fendre d'un cours de LaTex !