Dm de math

[soso1414]

Bonjour,
J'ai un dm de math pour lundi, et je n'arrive pas!!
J'espère que vous pourrez m'aider...Merci d'avance pour votre aide!

Enoncé:Les mathématiciens de la Grèce antique ont découvert et démontré l'irrationalité de racine carre de 2 à une époque qu'il est difficile de déterminer mais qu'on estime entre le 5eme et le 4eme siècle avant J-C. Dans cet exercice, on va prouver que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel.

On rappelle qu'un nombre pair est un multiple de 2 et qu'un nombre impair n'est pas un multiple de 2.Un nombre pair peut donc toujours s'écrire sous la forme 2k et un nombre impair sous la forme 2k+1 où k est un nombre entier naturel.

1.a)Démontrer que si un nombre N est pair alors N² est pair.
b)Que peut on en déduire si N²est impair ?

c) Démontrer que si un nombre N est impair alors N²est impair.
d)Que peut on en déduire si N²est pair.

2.Pour démontrer que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel, on va supposer qu'il l'est et montrer que l'on arrive alors à une absurdité.

Supposons qu'il existe deux nombre entiers naturels a et b#0 tels que racine carre de 2=a/b avec a/b irréductible.

a)Monter qu'alors on a: a²=2b².
b)Que peut on en déduire quant à la parité de a²? Et de a?

3.On admet donc que a est un nombre pair.

a)La fraction a/b étant irréductible, peut on avoir a et b tous les deux pairs ?
b)Que peut on en déduire quand à la parité de b ?
c)Montrer que a²est un multiple de 4.Que peut on en déduire pour b²?Quelle est donc la parité de b ?

4.Conclure.

Voilà!! C'est un peu long...
J'ai déjà effectue la question 1.
Je comprends vraiment pas.
Merci d'avance pour votre aide.

[Laurent Watteau]

1.a)Démontrer que si un nombre est pair alors est pair.

est pair donc il existe tel que .
Du coup avec . Donc est pair

b)Que peut on en déduire si est impair ?
Si est impair, c'est qu'il n'est pas pair. On a donc la contraposée de ce qu'on vient de montrer en (1a).
Cela signifie donc que dans ce cas est impair.

c) Démontrer que si un nombre est impair alors est impair.
Même raisonnement qu'en (1a)
On pose . Donc avec

d)Que peut on en déduire si est pair.
Que est pair (encore une fois la contraposée)

2.Pour démontrer que n'est pas un nombre rationnel, on va supposer qu'il l'est et montrer que l'on arrive alors à une absurdité.

Supposons qu'il existe deux nombre entiers naturels et tels que avec irréductible.

a)Monter qu'alors on a: .
Là bien sûr c'est trivial...

b)Que peut on en déduire quant à la parité de ? Et de ?
On en déduit que est multiple de 2, donc pair. On a montré par ailleurs que si un carré est pair, le nombre de départ aussi (1d). Donc : EST PAIR


3.On admet donc que est un nombre pair.

a)La fraction étant irréductible, peut on avoir et tous les deux pairs ?
Clairement non, car si c'était le cas on pourrait simplifier par et donc la fraction ne serait pas irréductible (ce qu'on a supposé).

b)Que peut on en déduire quand à la parité de ?
Puisque est pair et que d'après (3a) les deux nombres ne peuvent pas être pairs en même temps, EST FORCEMENT IMPAIR

c)Montrer que est un multiple de .Que peut on en déduire pour ?Quelle est donc la parité de ?
Comme est pair, il existe tel que . Evidemment, on a alors , c'est à dire que est multiple de .

On a vu en (2a) que . Dans ce cas on a donc . Donc . Donc EST PAIR.

4.Conclure.
OUPS! En (3c) on trouve que est PAIR alors que en (3b) on trouve qu'il est IMPAIR.

IMPOSSIBLE!!!
DONC L'HYPOTHESE DE DEPART EST FAUSSE.
DONC n'est pas rationnel.
DONC est irrationel.

[Grimmys]

Il demandait de l'aide, non pas une soluce...

[Laurent Watteau]

Il demandait de l'aide, non pas une soluce...

C'est vrai.
Mais entre-nous la présentation du problème est tellement machée, que la réponse était à 90% dans l'énoncé. Je veux dire par là que si la question avait été simplement "montrer que est irrationnel", je l'aurais probablement aidé en suggérant la même liste d'étapes intermédiaires.

Mais j'avoue que nous ne sommes pas là pour faire leurs devoirs. Cependant ce n'est pas forcément facile de trouver la bonne granularité d'aide.

Dans le cas présent, cela m'intéresserait de savoir pourquoi au juste il était bloqué. Je note d'ailleurs que nous n'avons pas encore de retour.

[mathelot]

Dans le cas présent, cela m'intéresserait de savoir pourquoi au juste il était bloqué.

si tu ne lui avais pas donné l'intégralité de la solution, tu saurais où il a bloqué. :hum:
par exemple, il ne sait pas que les nombres impairs sont de la forme 2k+1 et
que la réciproque est vraie, que 2k+1 est un nombre impair.
Il peut également ne pas savoir qu'une propriété ne peut pas être à la fois vraie et fausse.

[Laurent Watteau]

il ne sait pas que les nombres impairs sont de la forme 2k+1

Ca c'est clairement dans son énoncé.

Et il dit finalement bien où il a bloqué puisqu'il prétend avoir fait la première question mais pas le reste.
Maintenant, j'espère que tu conviendras que bloquer sur la question 2a ....

[Grimmys]

Je pense qu'il aurait plutôt fallu lui demander des précisions : sur quel question exactement bloquait-il, et quel était le travail qu'il avait déjà produit...

[danyL]

Je pense qu'il aurait plutôt fallu lui demander des précisions : sur quel question exactement bloquait-il, et quel était le travail qu'il avait déjà produit...

c'est un doublon
http://www.maths-forum.com/dm-math-seconde-167807.php