soso1414 a écrit:Bonjour,
J'ai un dm de math pour lundi, et je n'arrive pas!!
J'espère que vous pourrez m'aider...Merci d'avance pour votre aide!
Enoncé:Les mathématiciens de la Grèce antique ont découvert et démontré l'irrationalité de racine carre de 2 à une époque qu'il est difficile de déterminer mais qu'on estime entre le 5eme et le 4eme siècle avant J-C. Dans cet exercice, on va prouver que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel.
On rappelle qu'un nombre pair est un multiple de 2 et qu'un nombre impair n'est pas un multiple de 2.Un nombre pair peut donc toujours s'écrire sous la forme 2k et un nombre impair sous la forme 2k+1 où k est un nombre entier naturel.
1.a)Démontrer que si un nombre N est pair alors N² est pair.
b)Que peut on en déduire si N²est impair ?
c) Démontrer que si un nombre N est impair alors N²est impair.
d)Que peut on en déduire si N²est pair.
2.Pour démontrer que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel, on va supposer qu'il l'est et montrer que l'on arrive alors à une absurdité.
Supposons qu'il existe deux nombre entiers naturels a et b#0 tels que racine carre de 2=a/b avec a/b irréductible.
a)Monter qu'alors on a: a²=2b².
b)Que peut on en déduire quant à la parité de a²? Et de a?
3.On admet donc que a est un nombre pair.
a)La fraction a/b étant irréductible, peut on avoir a et b tous les deux pairs ?
b)Que peut on en déduire quand à la parité de b ?
c)Montrer que a²est un multiple de 4.Que peut on en déduire pour b²?Quelle est donc la parité de b ?
4.Conclure.
Voilà!! C'est un peu long...
Je comprends vraiment pas.
Merci d'avance pour votre aide
soso1414 a écrit:1.a)Comme N est pair alors montrer que N² est pair lui aussi
Alors N²=2K²=4k
Donc 4 étant un multiple de 2,N² est pair.
(pouvez-vous me dire si c'est bien rédigé)
b)Je pensais faire : N² étant impair alors N²=2K+1²=3K.
Donc N² est bien impair.
c) C'est la même réponse que la question b.
d) Le même principe que le b mais en faisant N²=2K²=4K
Et après je n'arrive pas!
danyL a écrit:1) a) attention aux parenthèses
ce n'est pas N²=2K²=4k mais N²=(2K)²=4k
sinon oui c'est bon
1) b) Que peut on en déduire si N²est impair ?
en 1) a) il a été démontré que si N est pair alors N est pair
donc si N² est impair (on n'est pas dans le cas du a) alors N n'est pas pair
ou autrement dit :
si N était pair alors N² serait pair
or N² est impair donc N n'est pas pair
1) c) Démontrer que si un nombre N est impair alors N²est impair
attention à ton calcul il est faux N²=2K+1²=3K
pense à mettre les parenthèses pour éviter les erreurs de calcul
N²=(2k+1)²=??
soso1414 a écrit:Merci,
Pour le 1.b) Je dois mettre ce que vous avez mis ou est ce que je dois faire un calcul ?
Pour le 1.c) N²=(2K+1)²=(3k)²=6K
Est ce que c'est bon ?
Pour le 1.d)Est ce que je dois faire le même résonnement que pour le 1.b) ?
danyL a écrit:le 1.b) il n'y a pas de calcul c'est un raisonnement logique à comprendre
l'as tu compris ?
1.c) N²=(2K+1)²=(3k)²=6K
non 2k+1 n'est pas égal à 3k
et d'ailleurs (3k)² n'est pas égal à 6k mais vaut 3² * k² = 9k²
si tu ne comprends pas bien les expressions avec des lettres, prends un exemple numérique :
N=15
N peut s'écrire N=2*7 + 1
donc k vaut 7 pour N=15
2k+1=15
3k=3*7=21
donc 2k+1 n'est pas égal à 3k
as tu appris comment calculer le carré d'une somme ?
la formule est (c+d)²=c² + 2cd + d²
donc N=(2K+1)²=?
soso1414 a écrit:Oui, je vous remercie grâce à vous j'ai compris le résonnement ! :we:
Par contre pour le 1.c) Je ne comprends pas trop !!
Voila à quoi je pense, N²=(2K+1)²=2k²+2*2K+1=1²=4K+6K+1=11K
(je ne suis pas du tout sur de moi !!!)
soso1414 a écrit:N²=(2K+1)²=(2K)²+2*2K+1²=(4K)²+4K+1=16K+4K+1=21K
Est ce bon ???
danyL a écrit:dans ton post de 13h06 tu as écrit (2K)²=4K² c'était ok
tu ne l'as pas bien remplacé dans l'expression
on ne peut pas additionner des termes de puissances différentes
par ex 3k + 2 n'est pas égal à 5
3k²+k n'est pas égal à 4k
si les termes sont de meme puissance tu peux simplifier
3k + 2k = k(3 + 2) = 5k
3k²+k² = k²(3 + 1) = 4k²
soso1414 a écrit:Je ne comprends vraiment pas, pouvez vous me donner la réponse car il me reste encore toute la fin de l'exercice à faire que je ne comprends pas non plus !
Merci par avance.
danyL a écrit:tu avais écrit (4K)²
ce n'est pas la meme quantité que 4K²
par ex si K=5
(4K)² = (4*5)² = 20² = 400
4K²=4 * 5² = 4 * (5*5) = 4 * 25 = 100
N²=(2K+1)²
N²=(2K)²+2*2K+1²
N²=4K²+4K+1
on peut écrire N² sous la forme 2 fois un nombre + 1 :
N²=2(2K²+2K) + 1
donc N² est impair
1.d) c'est le meme raisonnement que 1.b)
résumé de la question 1) :
le carré d'un nombre pair est pair
le carré d'un nombre impair est impair
2) racine carre de 2=a/b avec a/b irréductible.
a)Monter qu'alors on a: a²=2b².
tu élèves au carré les 2 côtés de l'égalité :
racine carre de 2=a/b
danyL a écrit:3.On admet donc que a est un nombre pair.
a)La fraction a/b étant irréductible, peut on avoir a et b tous les deux pairs ?
que veut dire fraction irreductible ?
si a est pair on peut l'ecrire 2 * K
si b est pair on peut l'ecrire 2 * K'
-> que vaut a/b ?
b)Que peut on en déduire quand à la parité de b ?
la réponse découle de la question précédente
c)Montrer que a²est un multiple de 4.
on sait que a²=2b²
suivant la parité de b tu le remplaces par 2K'+1 ou par 2K'
Que peut on en déduire pour b²?Quelle est donc la parité de b ?
revoir avec les résultats de la question 1
4.Conclure.
le but de l'exercice est de prouver par l'absurde que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationne
est on arrivé à une absurdité ?
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