Dm de math seconde

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
soso1414
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Dm de math seconde

par soso1414 » 10 Oct 2015, 09:53

Bonjour,
J'ai un dm de math pour lundi, et je n'arrive pas!!
J'espère que vous pourrez m'aider...Merci d'avance pour votre aide!

Enoncé:Les mathématiciens de la Grèce antique ont découvert et démontré l'irrationalité de racine carre de 2 à une époque qu'il est difficile de déterminer mais qu'on estime entre le 5eme et le 4eme siècle avant J-C. Dans cet exercice, on va prouver que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel.

On rappelle qu'un nombre pair est un multiple de 2 et qu'un nombre impair n'est pas un multiple de 2.Un nombre pair peut donc toujours s'écrire sous la forme 2k et un nombre impair sous la forme 2k+1 où k est un nombre entier naturel.

1.a)Démontrer que si un nombre N est pair alors N² est pair.
b)Que peut on en déduire si N²est impair ?

c) Démontrer que si un nombre N est impair alors N²est impair.
d)Que peut on en déduire si N²est pair.

2.Pour démontrer que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel, on va supposer qu'il l'est et montrer que l'on arrive alors à une absurdité.

Supposons qu'il existe deux nombre entiers naturels a et b#0 tels que racine carre de 2=a/b avec a/b irréductible.

a)Monter qu'alors on a: a²=2b².
b)Que peut on en déduire quant à la parité de a²? Et de a?

3.On admet donc que a est un nombre pair.

a)La fraction a/b étant irréductible, peut on avoir a et b tous les deux pairs ?
b)Que peut on en déduire quand à la parité de b ?
c)Montrer que a²est un multiple de 4.Que peut on en déduire pour b²?Quelle est donc la parité de b ?

4.Conclure.

Voilà!! C'est un peu long...
Je comprends vraiment pas.
Merci d'avance pour votre aide



danyL
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par danyL » 10 Oct 2015, 10:03

soso1414 a écrit:Bonjour,
J'ai un dm de math pour lundi, et je n'arrive pas!!
J'espère que vous pourrez m'aider...Merci d'avance pour votre aide!

Enoncé:Les mathématiciens de la Grèce antique ont découvert et démontré l'irrationalité de racine carre de 2 à une époque qu'il est difficile de déterminer mais qu'on estime entre le 5eme et le 4eme siècle avant J-C. Dans cet exercice, on va prouver que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel.

On rappelle qu'un nombre pair est un multiple de 2 et qu'un nombre impair n'est pas un multiple de 2.Un nombre pair peut donc toujours s'écrire sous la forme 2k et un nombre impair sous la forme 2k+1 où k est un nombre entier naturel.

1.a)Démontrer que si un nombre N est pair alors N² est pair.
b)Que peut on en déduire si N²est impair ?

c) Démontrer que si un nombre N est impair alors N²est impair.
d)Que peut on en déduire si N²est pair.

2.Pour démontrer que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel, on va supposer qu'il l'est et montrer que l'on arrive alors à une absurdité.

Supposons qu'il existe deux nombre entiers naturels a et b#0 tels que racine carre de 2=a/b avec a/b irréductible.

a)Monter qu'alors on a: a²=2b².
b)Que peut on en déduire quant à la parité de a²? Et de a?

3.On admet donc que a est un nombre pair.

a)La fraction a/b étant irréductible, peut on avoir a et b tous les deux pairs ?
b)Que peut on en déduire quand à la parité de b ?
c)Montrer que a²est un multiple de 4.Que peut on en déduire pour b²?Quelle est donc la parité de b ?

4.Conclure.

Voilà!! C'est un peu long...
Je comprends vraiment pas.
Merci d'avance pour votre aide


bonjour

pour le 1 a) N est pair donc N s'écrit sous la forme N=2k
calcule N² et regarde s'il est pair ou impair

pour le 1 c) N est impair donc N s'écrit sous la forme N=2k+1
calcule N² et regarde s'il est pair ou impair

soso1414
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par soso1414 » 10 Oct 2015, 10:12

1.a)Comme N est pair alors montrer que N² est pair lui aussi
Alors N²=2K²=4k
Donc 4 étant un multiple de 2,N² est pair.
(pouvez-vous me dire si c'est bien rédigé)

b)Je pensais faire : N² étant impair alors N²=2K+1²=3K.
Donc N² est bien impair.

c) C'est la même réponse que la question b.

d) Le même principe que le b mais en faisant N²=2K²=4K

Et après je n'arrive pas!

soso1414
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par soso1414 » 10 Oct 2015, 10:17

1.a)Comme N est pair alors montrer que N² est pair lui aussi
Alors N²=2K²=4k
Donc 4 étant un multiple de 2,N² est pair.
(pouvez-vous me dire si c'est bien rédigé)

b)Je pensais faire : N² étant impair alors N²=2K+1²=3K.
Donc N² est bien impair.

c) C'est la même réponse que la question b.

d) Le même principe que le b mais en faisant N²=2K²=4K

Et après je n'arrive pas!

danyL
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par danyL » 10 Oct 2015, 10:33

soso1414 a écrit:1.a)Comme N est pair alors montrer que N² est pair lui aussi
Alors N²=2K²=4k
Donc 4 étant un multiple de 2,N² est pair.
(pouvez-vous me dire si c'est bien rédigé)

b)Je pensais faire : N² étant impair alors N²=2K+1²=3K.
Donc N² est bien impair.

c) C'est la même réponse que la question b.

d) Le même principe que le b mais en faisant N²=2K²=4K

Et après je n'arrive pas!


1) a) attention aux parenthèses
ce n'est pas N²=2K²=4k mais N²=(2K)²=4k
sinon oui c'est bon

1) b) Que peut on en déduire si N²est impair ?
en 1) a) il a été démontré que si N est pair alors N est pair
donc si N² est impair (on n'est pas dans le cas du a) alors N n'est pas pair
ou autrement dit :
si N était pair alors N² serait pair
or N² est impair donc N n'est pas pair

1) c) Démontrer que si un nombre N est impair alors N²est impair
attention à ton calcul il est faux N²=2K+1²=3K
pense à mettre les parenthèses pour éviter les erreurs de calcul
N²=(2k+1)²=??

soso1414
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par soso1414 » 10 Oct 2015, 10:44

danyL a écrit:1) a) attention aux parenthèses
ce n'est pas N²=2K²=4k mais N²=(2K)²=4k
sinon oui c'est bon

1) b) Que peut on en déduire si N²est impair ?
en 1) a) il a été démontré que si N est pair alors N est pair
donc si N² est impair (on n'est pas dans le cas du a) alors N n'est pas pair
ou autrement dit :
si N était pair alors N² serait pair
or N² est impair donc N n'est pas pair

1) c) Démontrer que si un nombre N est impair alors N²est impair
attention à ton calcul il est faux N²=2K+1²=3K
pense à mettre les parenthèses pour éviter les erreurs de calcul
N²=(2k+1)²=??


Merci,
Pour le 1.b) Je dois mettre ce que vous avez mis ou est ce que je dois faire un calcul ?
Pour le 1.c) N²=(2K+1)²=(3k)²=6K
Est ce que c'est bon ?
Pour le 1.d)Est ce que je dois faire le même résonnement que pour le 1.b) ?

danyL
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par danyL » 10 Oct 2015, 11:04

soso1414 a écrit:Merci,
Pour le 1.b) Je dois mettre ce que vous avez mis ou est ce que je dois faire un calcul ?
Pour le 1.c) N²=(2K+1)²=(3k)²=6K
Est ce que c'est bon ?
Pour le 1.d)Est ce que je dois faire le même résonnement que pour le 1.b) ?


le 1.b) il n'y a pas de calcul c'est un raisonnement logique à comprendre
l'as tu compris ?

1.c) N²=(2K+1)²=(3k)²=6K
non 2k+1 n'est pas égal à 3k
et d'ailleurs (3k)² n'est pas égal à 6k mais vaut 3² * k² = 9k²


si tu ne comprends pas bien les expressions avec des lettres, prends un exemple numérique :
N=15
N peut s'écrire N=2*7 + 1
donc k vaut 7 pour N=15

2k+1=15
3k=3*7=21
donc 2k+1 n'est pas égal à 3k

as tu appris comment calculer le carré d'une somme ?
la formule est (c+d)²=c² + 2cd + d²

donc N=(2K+1)²=?

soso1414
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par soso1414 » 10 Oct 2015, 11:11

danyL a écrit:le 1.b) il n'y a pas de calcul c'est un raisonnement logique à comprendre
l'as tu compris ?

1.c) N²=(2K+1)²=(3k)²=6K
non 2k+1 n'est pas égal à 3k
et d'ailleurs (3k)² n'est pas égal à 6k mais vaut 3² * k² = 9k²


si tu ne comprends pas bien les expressions avec des lettres, prends un exemple numérique :
N=15
N peut s'écrire N=2*7 + 1
donc k vaut 7 pour N=15

2k+1=15
3k=3*7=21
donc 2k+1 n'est pas égal à 3k

as tu appris comment calculer le carré d'une somme ?
la formule est (c+d)²=c² + 2cd + d²

donc N=(2K+1)²=?


Oui, je vous remercie grâce à vous j'ai compris le résonnement ! :we:
Par contre pour le 1.c) Je ne comprends pas trop !!
Voila à quoi je pense, N²=(2K+1)²=2k²+2*2K+1=1²=4K+6K+1=11K
(je ne suis pas du tout sur de moi !!!)

danyL
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par danyL » 10 Oct 2015, 11:17

soso1414 a écrit:Oui, je vous remercie grâce à vous j'ai compris le résonnement ! :we:
Par contre pour le 1.c) Je ne comprends pas trop !!
Voila à quoi je pense, N²=(2K+1)²=2k²+2*2K+1=1²=4K+6K+1=11K
(je ne suis pas du tout sur de moi !!!)

il y a du mieux mais c'est pas encore bon

la formule est (c+d)²=c² + 2cd + d²
avec c=2k et d=1 :
(2k + 1)² = (2k)² + 2*2k + 1² = ??

soso1414
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par soso1414 » 10 Oct 2015, 11:41

danyL a écrit:il y a du mieux mais c'est pas encore bon

la formule est (c+d)²=c² + 2cd + d²
avec c=2k et d=1 :
(2k + 1)² = (2k)² + 2*2k + 1² = ??


N²=(2K+1)²=(2K)²+2*2K+1²=4K+4K+1=9K
Est ce bon ???

danyL
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par danyL » 10 Oct 2015, 12:00

soso1414 a écrit:N²=(2K+1)²=(2K)²+2*2K+1²=4K+4K+1=9K
Est ce bon ???

pas encore
(2K)²=?

calcul des puissances
(c * d)² = c² * d²
car :
(c * d)² = (c * d) * (c * d) = c * d * c * d = (c * c) * (d * d) = c² * d²

ex :
(3 * 4)² = 12² = 144
3² * 4² = 3 * 3 * 4 * 4 = 9 * 16 = 144

soso1414
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par soso1414 » 10 Oct 2015, 12:06

danyL a écrit:pas encore
(2K)²=?

calcul des puissances
(c * d)² = c² * d²


Je ne vois vraiment pas est ce que vous pouvez me le dire svp.?
(2K)²=4K² ??

danyL
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par danyL » 10 Oct 2015, 12:11

soso1414 a écrit:Je ne vois vraiment pas est ce que vous pouvez me le dire svp.?
(2K)²=4K² ??

oui c'est ça
donc N²=(2K+1)²=(2K)²+2*2K+1²=?

soso1414
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par soso1414 » 10 Oct 2015, 12:14

danyL a écrit:oui c'est ça
donc N²=(2K+1)²=(2K)²+2*2K+1²=?


N²=(2K+1)²=(2K)²+2*2K+1²=(4K)²+4K+1=16K+4K+1=21K
Est ce bon ???

danyL
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par danyL » 10 Oct 2015, 12:19

soso1414 a écrit:N²=(2K+1)²=(2K)²+2*2K+1²=(4K)²+4K+1=16K+4K+1=21K
Est ce bon ???

dans ton post de 13h06 tu as écrit (2K)²=4K² c'était ok
tu ne l'as pas bien remplacé dans l'expression



on ne peut pas additionner des termes de puissances différentes
par ex 3k + 2 n'est pas égal à 5
3k²+k n'est pas égal à 4k

si les termes sont de meme puissance tu peux simplifier
3k + 2k = k(3 + 2) = 5k
3k²+k² = k²(3 + 1) = 4k²

soso1414
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par soso1414 » 10 Oct 2015, 16:06

danyL a écrit:dans ton post de 13h06 tu as écrit (2K)²=4K² c'était ok
tu ne l'as pas bien remplacé dans l'expression



on ne peut pas additionner des termes de puissances différentes
par ex 3k + 2 n'est pas égal à 5
3k²+k n'est pas égal à 4k

si les termes sont de meme puissance tu peux simplifier
3k + 2k = k(3 + 2) = 5k
3k²+k² = k²(3 + 1) = 4k²


Je ne comprends vraiment pas, pouvez vous me donner la réponse car il me reste encore toute la fin de l'exercice à faire que je ne comprends pas non plus !
Merci par avance.

danyL
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par danyL » 10 Oct 2015, 19:10

soso1414 a écrit:Je ne comprends vraiment pas, pouvez vous me donner la réponse car il me reste encore toute la fin de l'exercice à faire que je ne comprends pas non plus !
Merci par avance.

tu avais écrit (4K)²
ce n'est pas la meme quantité que 4K²
par ex si K=5
(4K)² = (4*5)² = 20² = 400
4K²=4 * 5² = 4 * (5*5) = 4 * 25 = 100

N²=(2K+1)²
N²=(2K)²+2*2K+1²
N²=4K²+4K+1

on peut écrire N² sous la forme 2 fois un nombre + 1 :
N²=2(2K²+2K) + 1
donc N² est impair

1.d) c'est le meme raisonnement que 1.b)

résumé de la question 1) :
le carré d'un nombre pair est pair
le carré d'un nombre impair est impair

2) racine carre de 2=a/b avec a/b irréductible.
a)Monter qu'alors on a: a²=2b².

tu élèves au carré les 2 côtés de l'égalité :
racine carre de 2=a/b

soso1414
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par soso1414 » 11 Oct 2015, 10:00

danyL a écrit:tu avais écrit (4K)²
ce n'est pas la meme quantité que 4K²
par ex si K=5
(4K)² = (4*5)² = 20² = 400
4K²=4 * 5² = 4 * (5*5) = 4 * 25 = 100

N²=(2K+1)²
N²=(2K)²+2*2K+1²
N²=4K²+4K+1

on peut écrire N² sous la forme 2 fois un nombre + 1 :
N²=2(2K²+2K) + 1
donc N² est impair

1.d) c'est le meme raisonnement que 1.b)

résumé de la question 1) :
le carré d'un nombre pair est pair
le carré d'un nombre impair est impair

2) racine carre de 2=a/b avec a/b irréductible.
a)Monter qu'alors on a: a²=2b².

tu élèves au carré les 2 côtés de l'égalité :
racine carre de 2=a/b


Je vous remercie donc le résultat est bien N²=2(2K²+2K) + 1 ???
Pour la question 2 j'ai effectué un produit en croix.
Pour la question 3 je ne comprend pas par contre .Pouvez-vous m'aider.SvP

danyL
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par danyL » 11 Oct 2015, 10:18

3.On admet donc que a est un nombre pair.
a)La fraction a/b étant irréductible, peut on avoir a et b tous les deux pairs ?

que veut dire fraction irreductible ?

si a est pair on peut l'ecrire 2 * K
si b est pair on peut l'ecrire 2 * K'
-> que vaut a/b ?


b)Que peut on en déduire quand à la parité de b ?

la réponse découle de la question précédente

c)Montrer que a²est un multiple de 4.

on sait que a²=2b²
suivant la parité de b tu le remplaces par 2K'+1 ou par 2K'


Que peut on en déduire pour b²?Quelle est donc la parité de b ?

revoir avec les résultats de la question 1

4.Conclure.

le but de l'exercice est de prouver par l'absurde que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationne
est on arrivé à une absurdité ?

soso1414
Membre Naturel
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par soso1414 » 11 Oct 2015, 17:50

danyL a écrit:3.On admet donc que a est un nombre pair.
a)La fraction a/b étant irréductible, peut on avoir a et b tous les deux pairs ?

que veut dire fraction irreductible ?

si a est pair on peut l'ecrire 2 * K
si b est pair on peut l'ecrire 2 * K'
-> que vaut a/b ?


b)Que peut on en déduire quand à la parité de b ?

la réponse découle de la question précédente

c)Montrer que a²est un multiple de 4.


on sait que a²=2b²
suivant la parité de b tu le remplaces par 2K'+1 ou par 2K'


Que peut on en déduire pour b²?Quelle est donc la parité de b ?

revoir avec les résultats de la question 1

4.Conclure.

le but de l'exercice est de prouver par l'absurde que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationne
est on arrivé à une absurdité ?


3.a) Une fraction irréductible est que on ne peut pas la ramener sous une forme plus simple(la réduire)
a/b vaut 2k/2k' ??
Donc oui a et b peuvent être tout les deux pair puisque il ne sont pas écrit sous la même forme.?

b)Suite a la question 3a).Nous pouvons admettre que b est pair puisque c'est un multiple de 2.

c)Je ne comprends pas!

4.Je le ferais après la question 3 fini.

 

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