(math niveau 1ère S) calcul de l'aire de l'éponge de Menger

[btistous]

Bonjour,

voilà mon problème: j'essaie désespérément de calculer l'aire de l'éponge de Menger, je ne crois pas que les calculs soient très difficiles (ça peut se faire en lycée) mais il faut bien voir dans l'espace et être "pragmatique"!

Je rappelle le principe de l'éponge de Menger:

Pour construire l’éponge de Menger, on procède comme suit, a partir d’un cube de longueur a

Etape 1:
Découper le cube précédent en 27 petits cubes de longueur a/3 , de la
même façon qu’un rubiks’cube se décompose en 27 petits cubes identiques.
Retirer un petit cube à partir du centre de chaque face, ainsi que le petit cube enfermé au centre du cube. (On retire donc 7 petits cubes)

Etape 2 et suivantes :
Appliquer le procédé décrit à l’étape 1 à chaque petit cube

Vous pouvez trouver d'autres explications, et surtout des images, indispensables pour comprendre, sur internet, par exemple [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89ponge…[/url]

On peut montrer facilement que le volume de l'éponge tend vers 0.
La surface tend vers l'infini mais je ne parviens pas à le montrer rigoureusement.

Sur le net pas de solution, ou alors des affirmations très hatives à mon goût. J'ai trouvé quelque part quelqu'un affirmant que la surface de l'éponge était multipliée par 4/3 à chaque étape. C'est peut-être vrai mais ce n'est pas évident car il y a des "effets de bord", tous les petits cubes n'ont pas la même contribution à la surface du solide, certains étant beaucoup plus enfermés que d'autres.

Quelqu'un aurait une preuve rigoureuse? (soit en calculant l'aire à l'étape n, soit en minorant la surface par une suite qui tend vers + infini). ça me démange!

Merci beaucoup!

[Sylviel]

L'idée est bien de noter l'aire de ton éponge a l'étape n Un et de comprendre son évolution. Il n'y a pas "d'effets de bord" car on applique le même procédé à chaque cube indépendamment de sa position, et qu'ils sont tous indépendants les uns des autres, il suffit donc de comprendre par combien la surface du cube inital est multipliée (je n'ai pas dit que c'était évident à voir et encore moins à justifier proprement).

[Ben314]

Salut,
Il me semble qu'il y a bien des "effets de bords" : quand on reconstitue l'étape n+1 en partant de 20 (=27-7) "pseudo cubes" de l'étape n, comme on accole des faces entre elles, on ne peut pas directement donner la surface de l'étape n+1 en fonction de celle de l'étape n.
Il me semble qu'une des méthode possible est de commencer par calculer la surface Fn d'une des face extérieure de l'étape n : F0=a² (cube plein) puis F(n+1)=8*(Fn/9) car une face est constituée de 8 "sous faces" obtenues par une homothétie de rapport 1/3 qui divise les surfaces par 9.
On en déduit que Fn=(8/9)^n*a² (suite géométrique).
On calcule ensuite la "surface intérieure" In à l'étape n (i.e. la surface qui n'est pas sur une des 6 faces) I0=0 (cube plein), I1=24*(a/3)² (24 petites "faces intérieures").
La formule générale est I(n+1)=24*(Fn/9)+20*(In/9) (à expliquer...) qui, aprés calculs (à faire...) donne In=2*[(20/9)^n-(8/9)^n]*a².
La surface totale est alors Sn=In+6*Fn=2*[(20/9)^n+2(8/9)^n]*a².

[Sylviel]

hum... effectivement je me suis planté dans la représentation de l'éponge, j'ai enlevé mentalement beaucoup trop de cubes...

[btistous]

Merci, ta piste de séparer surface interne est surface externe me semble judicieuse.
en effet quand tu enlèves un carré d'aire A de la surface extérieure (ce que tu fais sur un neuvième de cette surface, ok), tu fais apparaître des carrés de même aire, 4 en fait, dans le creux laissé par le cube enlevé.Et ca tu multiplies par 6 pour obtenir 24, car ce phénomène se passe sur tous les bords qui bordent le cube. Cela expliquerait le 24 Fn/9 encore que là aussi, n'y a-t-il pas des effets de bord?effectivement j'ai l'impression que non car ce qui se passe à l'intérieur ne dépend pas de la position sur le gros cube.

et pour le deuxième terme, ça vient des carrés qui apparaissent quand on enlève un petit cube qui est déjà à l'intérieur. Comme il est déjà à l'intérieur, tu multiplies que par 5 c'est ça, ce qui te donnes le 20?
Ta réponse est probablement juste mais je visualise pas assez bien pour être convaincu. Mais j'y reréfléchirai

Penses-tu sinon qu'on pourrait minorer plus simplement Sn pour montrer qu'elle tend vers + infini?

Merci en tout cas, j'ai progressé dans ma réflexion!