Calcul d'une aire niveau 1ère-Terminale S

[missdu68]

J'ai plusieurs soucis sur un DM à rendre début de la semaine prochaine.


On considère la parabole P d'équation y= x^2 (au carré).
Il faudra calculer l'aire A du domaine D limité par la courbe P, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=1.
Le domaine D est inclus dans le rectangle OABC tel que A(1;0) B(1;1) C(0;1)
L'aire A du domaine D est comprise entre 1/8 et 5/8. (information pas trop importante j'ai l'impression mais elle est donnée)

1. n est supérieur à 2
On partage le domaine D en n "tranches verticales" T1, T2, ..., Tn de largeur 1/n. On désigne par Ai l'aire de la tranche Ti pour tout entier i compris entre 1 et n.
En encadrant la "tranche" Ti entre 2 rectangle justifier que :
a) (i-1)^2 / n^3 < Ai < i^2 / n^3
b) 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 / n^3 < A < 1^2 + 2^2 + ... + n^2 / n^3


2. Soit une suite Un = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 / n^3
En utilisant la question précédente démontrer que 0 < Un-A < 1/n
En déduire que la suite (Un) converge vers le réel A.

3. Le but de la 3ème question est de calculer Un en fonction de n.

a) Déterminer un Polynôme de degrés 3 tel que, pour tout réel x,
P(x+1)- P(x) = x^2

b) En ajoutant les égalités obtenues en remplaçant successivement x par 1,2,.., n démontrer que :
1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1) / 6

c) 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1) / 6 est égal à
Un = 1/6(1+1/n)(2+1/n)

En déduire la valeur du réel A. (il faudra trouver 1/3)

Voila j'espère que vous allez bien réussir à visualiser cet exercice et un grand merci à ceux qui jetterons un coup d'oeil et me donneront quelques coups de pouces...

[Anonyme]

Bonsoir

Pour le 1.a
Chaque air Ai est inférieur l'air du rectangle de largeur 1/n et de hauteur f(i/n) elle est en-outre supérieur à l'air du rectangle 1/n et de hauteur f(i/n)
(à toi de le démontrer)

Pour le 1.b
L'aire A est la somme des Ai de i =1 à i = n

Pour le 2
Un correspond aux termes de droite de l'encadrement de la question précédente (1.b) on à donc ATu peu définir un seconde suite Vn qui correspond aux termes inférieur à A dans l'encadrement de la question 1.b. On à donc VnJe te conseil de calculer la différence entre Un et Vn puis d'utiliser le théorème dit "des gendarmes" ^^

Pour le 3.a
Pour le polynôme c'est du calcul littéral P(x) = ax^3 +bx² +cx +d.
Calcul P(x+1)-(Px). Simplifie puis fixes P(x+1)-P(x) = x² d'après mes calculs tu devrais pouvoir éliminer rapidement les inconnues

Voilà pour le reste je verrai demain. En espérant t'avoir aidé je te souhaite bonne nuit.
Ps : dsl pour l'orthographe

[missdu68]

Bonjour !
Oh merci beaucoup pour ton aide maintenant j'ai réussi toutes les questions où tu m'avais aidé !
Il y a juste quelque chose à la fin que je ne comprend pas c'est quand tu me dit de fixer P(x+1)-P(x) = x² ... ?
Merci encore a plus tard !

[Anonyme]

Salut

P(x+1)-P(x) = a[(x+1)^3-x^3] + b[(x+1)²-x²] + c(x+1-x) +d -d

= a[3x²+3x+1] + b[2X+1] + c
= 3ax² + 3ax + a + 2bx + b + c
= 3ax² + (3a+2b)x + a + b + c
(je suis pas sur pour l'expression je l'ai faite sur l'ordi à la va vite)

Ensuite procèdes par identification des coefficients
3ax² + (3a+2b)x + a + b + c = 1*x² +0*x +0
Tu obtiens un système ^^ (remarques au passage que d n'est pas important)
J'espère que c'est plus clair comme ça.

Pour la question 3.b
P(2)-P(1) = 1²
P(3)-P(2) = 2²
P(4)-P(3) = 3²
.............= ....
P(x+1)-P(x) = x²

Donc P(x+1)-P(1) = ...

Pour la dernière question je te laisse conclure. Bonne chance !

[missdu68]

Bonjour,
Merci pour les explications du polynome !
Et je voulais énormément te remercier de m'avoir aider tout au long de mon exercice, merci^n pour tout ! ! !

[Anonyme]

Ce fut un plaisir ! ^^