Logarithme népérien (long)

[mary123]

Ou en est tu dans l'exercice

[Liouan]

A )
1) un simple calcul de dérivée:
g'(x)=2x + 0 -1/x=2x-1/x
pour étudier le signe, il est préférable de mettre l'expression sous forme d'un quotient:
g'(x)=(2(x^2) -1)/x
tu fais ensuite le tableau de variations

3) avec la question précédente, tu en déduiras que g admet un minimum en 1/(RAC(2)) donc tu calculeras la valeur de g(1/RAC(2))
tu trouveras que c'est strictement positif, comme c'est le minimum de ta fonction g, tu en déduis que g(x)>0 sur ]0;+inf[

[Liouan]

B )
1)a- un calcul de limites:
x+1/2 tend vers 1/2 quand x tend vers 0, pas de problèmes
ln(x) tend vers -inf quand x -> 0+
et x tend vers 0 quand x tend vers 0 (sisi! )

donc ln(x)/x -> - inf quand x -> 0+
(comme on travaille sur ]0;+inf[, il n'est pas question de lim en 0-)
résultat: x+1/2+(ln x)/x -> - inf quand x->0+

b)x+1/2 -> +inf quand x-> +inf, pas de problemes
et ln(x)/x -> 0 quand x -> +inf (c'est du cours)

résultat: f(x) -> + inf quand x -> + inf

2) tu dérives f:
f'(x)=1+0+(1-ln x)/(x^2)= 1 +(1-ln x)/(x^2)
tu calcules g(x)/(x^2) et o miracle, tu retombes sur la meme expression (c'est beau les maths )

3) f'(x) = g(x)/(x^2) donc f'(x) a le signe de g(x) et on a montré que sur R+, g(x)>0 en 1 A)
donc f'(x) > 0 sur [2;3] donc f est croissante sur [2;3]
tu calcules f(2), tu trouves que f(2)3
or f est continue et strictement croissante sur [2;3] donc le théorème des valeurs intermédiaires te donne le résultat

4a) A appartient à C et à D donc il vérifie les équations de C et D, donc si tu notes X et Y les coordonnées de A, tu as
Y=X+1/2+(ln X)/X et
Y=X+1/2

tu résouds, ça se voit direct:(la 2e ligne moins la 1ere donne (lnX)/X=0 => ln X=0 => X=1)
X=1
Y=3/2

b) tu dois montrer que la différence entre C et D tend vers 0 en + inf donc tu fais la différence des 2 équations: [X+1/2+(ln X)/X] - [X+1/2]=(ln X)/X
ce qui tend vers 0 quand X tend vers + inf (c'est du cours)

c) tu étudies le signe de la différence entre l'équation de C et celle de D
la différence vaut (ln X)/X
(ln X)/X est 0 sur ]1;+inf[
donc C est située en dessous de D sur ]0;1]
et C est située au dessus de D sur [1;+inf[

d) tu te sers de l'expressions de la tangente à f en un point a:
y=f'(a)(x-a) +f(a)
ici, pour a, tu prends l'abscisse de A=1
5)je te laisse tracer tout ça, je ne l'ai pas fait moi meme, donc je te conseille de vérifier que sur ton dessin, tout coincide bien avec les résultats précédents (coordonnées de A, positions relatives des deux courbes)