Limites

[Cher93]

Bonjour tout le monde , j’ai un exercice où je dois calculer des limites , et je bloque dans quelques-unes! Merci de bien vouloir m’Aider:
1.Lim (x—>+l’inf). (x/ln(x))
2.Lim(x—>0+). (x/ln(x))
3.Lim(x—>1). ((x^3 -1)/ln(x) )
4.Lim(x—>-l’inf). (2x+ln(x/(x-1) )

[mathelot]

Bonjour tout le monde , j’ai un exercice où je dois calculer des limites , et je bloque dans quelques-unes! Merci de bien vouloir m’Aider:
1.Lim (x—>+l’inf). (x/ln(x))
2.Lim(x—>0+). (x/ln(x))
3.Lim(x—>1). ((x^3 -1)/ln(x) )
4.Lim(x—>-l’inf). (2x+ln(x/(x-1) )

bjr,
pour la (1), la variable x l'emporte sur le logarithme ln(x)

la limite (2) n'est pas indéterminée

pour la (3) écrire


avec


la (4) n'est pas indéterminée. il manque une parenthèse droite

[Cher93]

Tout d’abord , merci beaucoup pour vos réponses!
Une question : vous aviez-dit que pour la (1) la variable x l’emporte sur le logarithme ln(x) ? (Je n’ai pas tres bien saisi le sens!) .Merci encore!

[mathelot]

Tout d’abord , merci beaucoup pour vos réponses!
Une question : vous aviez-dit que pour la (1) la variable x l’emporte sur le logarithme ln(x) ? (Je n’ai pas tres bien saisi le sens!) .Merci encore!

imaginons que x soit un entier tendant vers l'infini:
ln(x) , à un facteur près, est le nombre de chiffres de x. C'est pour cela que ln(x) tend vers l"infini quand x tend vers l'infini mais beaucoup plus lentement que x.

On a donc

[Cher93]

D’accord , mais je vois que cette methode est un peu plus logique que mathematique.
Y’a-t-il alors une methode ‘mathématique’ pour demontrer que c’est egal à + l’inf?

[mathelot]

D’accord , mais je vois que cette methode est un peu plus logique que mathematique.
Y’a-t-il alors une methode ‘mathématique’ pour demontrer que c’est egal à + l’inf?

c'est un résultat de cours... je peux te le redémontrer

la dérivée de est
f est donc croissante sur

il reste à montrer que f n'est pas majorée sur l'intervalle
prenons où n est un entier supérieur ou égal à 2


or pour d'après la formule du binôme.
d'où
d'où si , alors
d'où

[Cher93]

Pourquoi avez-vous pris x=2^n?

[mathelot]

Pourquoi avez-vous pris x=2^n?

c'est presque la fonction inverse de ln() car

[Cher93]

D’accord, pour la 4eme , vous aviez-dit que ce n’etait pas une forme indéterminée pourquoi??

[mathelot]

D’accord, pour la 4eme , vous aviez-dit que ce n’etait pas une forme indéterminée pourquoi??

qd x tend vers
x/(x-1) tend vers 1
ln(x/(x-1)) tend vers 0
2x tend vers
f(x) tend vers

[Cher93]

Ah oui !!! Mercii!

[Ben314]

Salut,
Une petite remarque : Pour démontrer que "les puissances l'emportent sur les log en +oo", ça me semble plus élémentaire de partir de qu'on démontre simplement en dérivant puis d'en déduire par exemple que, qui suffit à démontrer que .
Et de façon plus générale, le fait que pour un donné, on ait me semble une façon mathématique "assez claire" de formuler le fait que "les puissances l'emportent sur les log en +oo".