Limites

[t.itou29]

Bonsoir,
Je ne comprend pas une question sur les limites.
Il est demandé de calculer les limites des fonctions suivantes quand x tend vers 0:



Jusqu'à là pas de problème, les limites sont 1, . Après il faut en déduire qu'il existe une fonction , définie sur [-1;+infini[ , de limite nulle en 0 telle que:

Et là je ne vois pas comment faire, pouvez-vous m'aider ?
Merci

[XENSECP]

Salut,

Tu peux dire que où est une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers 0.

[jlb]

tu appelles h(x)=(f(x)-1-x/2+(1/8)x²)/x² =(g(x)-1/2)/x + 1/8 et tu utilises les résultats précédents pour montrer que h convient comme fonction demandée

[t.itou29]

Salut,

Tu peux dire que où est une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers 0.

Désolé mais je vois pas trop comment ça prouve que existe. En fait j'ai du mal à voir lien entre les limites de g et h et l'écriture de f

[t.itou29]

Je crois avoir compris : si on pose alors tend vers 0 lors x tend vers 0 ?

[Archibald]

Vous avez vu les développements limités ?

Je pose quand même la question même si je doute bien de la réponse.

[t.itou29]

Non, si mais vous voulez bien m'expliquer et que ce n'est pas trop difficile à comprendre (ce que je doute !) je veux bien essayer.

[Archibald]

Un développement limité (notons ça DL) d'une fonction au voisinage d'un point donné et à un ordre donné est une approximation polynomiale de cette fonction. Plus l'ordre du DL est grand, et plus cette approximation sera meilleure. L'epsilon est en fait un indicateur de l'erreur qu'on commet en approximant la fonction par une somme de monômes de degré croissant.

Ta fonction :

L'approximation affine de ta fonction en 0 (c'est en fait un DL à l'ordre 1)

DL à l'ordre 2

DL à l'ordre 3, on se rend compte que notre DL épouse de mieux en mieux la courbe de notre fonction

... DL à l'ordre 10, c'est presque bon sur l'intervalle


les DL trouvent leur utilité pour lever l'indétermination lors du calcul des limites, mieux comprendre le comportement d'une fonction au voisinage d'un point, etc.

[Robic]

Il ne faut pas utiliser de développement limité !

Pour la fonction epsilon, voici un petit calcul différent de l'exercice mais qui utilise la même méthode.

Au lycée, on voit l'approximation affine :


C'est une approximation, pas une égalité. En réalité, il faut ajouter l'erreur d'approximation, qui est une certaine fonction E :


Que peut-on dire de cette fonction ? On peut démontrer qu'elle est de la forme où la fonction epsilon tend vers zéro quand tend vers .

Pour le démontrer, il suffit de calculer cet epsilon :






(en supposant que est différent de ). On en déduit :


Or la limite de droite est précisément la définition de , ce qui prouve que .

Ici il faut appliquer exactement cette méthode (à part qu'il y a une dérivée seconde) : écrire la fonction epsilon en l'isolant dans la dernière égalité du 1er message, puis reconnaître des dérivées et des dérivées secondes. Je viens de le faire, ça marche.

PS : Par curiosité, tu as fait comment pour calculer la limite de h en 0 ? (Il y a une forme indéterminée assez "hard", je trouve).

[Archibald]

On ne lui a pas conseillé d'utilisé les DL en même temps, juste demandé, par simple curiosité, s'il avait vu ça en classe.

[t.itou29]

Merci, je crois avoir compris un peu près les DL, mais je ne dois pas les utiliser ?
Avec la méthode de Robic je pense pouvoir réussir mais le problème c'est qu'il est demandé de déduire donc normalement il a peu voire pas de calculs à faire.
Et pour la limite de h, on a:

En multiplicant par le conjugué:



D'où limite de h égale -1/8 quand x tend vers 0

[Archibald]

Non, tout simplement parce que tu ne les a pas vus en classe. C'est comme si on te demandait d'étudier les variations d'une fonction : si tu n'as pas vu les dérivées, c'est que l'énoncé te demande de le faire autrement.

[Robic]

« En déduire », ça ne veut pas dire qu'il y aura peu de calculs, juste qu'il faut utiliser les résultats précédents (en l'occurrence, les limites calculées dans la première question). C'est si tu n'utilises pas les résultats précédents que c'est suspect.

Effectivement, la limite de h n'était pas triviale à calculer, bravo ! (J'avais commencé le calcul en disant que c'était la dérivée de h en 0 (astuce classique), mais ça menait à une belle forme indéterminée... pour une fois l'astuce était une mauvaise idée.)

[t.itou29]

C'est une approximation, pas une égalité. En réalité, il faut ajouter l'erreur d'approximation, qui est une certaine fonction E :

En partant de là je trouve et du coup si on pose comme l'a dit XENSECP on a bien qui existe et sa limite en 0 est bien 0.

[Robic]

J'aurais fait, au brouillon :

d'où :

Ensuite, au propre, on peut alors définir pour tout x non nul en divisant l'égalité ci-dessus par , ce qui prouve (par définition de la fonction epsilon) l'égalité à démontrer, et il reste à calculer la limite de cette fonction en faisant apparaître des dérivées et dérivées secondes.

Mais ta méthode m'a l'air astucieuse !

[t.itou29]

Ce n'est pas la mienne (j'aurais pas trouvé tout seul!) c'est celle de XENSECP que je n'avais pas comprise au début, et que j'ai comprise maintenant avec la formule d'approximation affine.
J'essaierai avec les dérivées quand je les maitriserai bien !
Merci de ton aide.