Limites

[dias65]

Bonsoir,
j'aurai besoin d'aide pour deux exercice de maths :

exo 1) soit f(x) = racine(1+x² * racine(1+x^4 * racine(1+x^8 * racine(1+x^16))))
g(x) = racine(1+x * racine(1+x^3 * racine(1+x^6 * racine(1+x^12))))
Montrer que lim f(x) - g(x) = +inf qd x tends vers +inf

exo2)
a réel soit f(x)= 1/(x+a) - a² x² /(x^3 + a^3)
donner l'ensemble de définition de f
pour quelles valeurs de a f admet-elle une limite qd x tends vers -a
Merci

[Goux]

Bonsoir,

En quelle classe est-tu ?

Connais-tu les développements limités ?

[dias65]

Bonsoir,

En quelle classe est-tu ?

Connais-tu les développements limités ?

Terminal donc sans D.L

[Goux]

Les parenthèses sont-elles correctement placées ou est-ce plutôt :

f(x) = racine((1+x²) * racine((1+x^4) * racine((1+x^8) * racine(1+x^16))))
g(x) = racine((1+x) * racine((1+x^3) * racine((1+x^6) * racine(1+x^12))))

[Goux]

Dans ce cas tu peux factoriser à chaque fois par la puissance de x dans la racine la plus intérieure et ainsi la sortir de la racine et remonter jusqu'à la première racine, je ne sais pas si je me fais comprendre, par exemple :

f(x) = racine((1+x²) * racine((1+x^4) * racine((1+x^8) * racine(1+x^16))))
= racine((1+x²) * racine((1+x^4) * racine((1+x^8) * x^8*racine(1+1/x^16))))
= racine((1+x²) * racine((1+x^4) *x^8 * racine((1+1/x^8) *racine(1+1/x^16))))
= racine((1+x²) *x^6 racine((1+1/x^4) * racine((1+1/x^8) *racine(1+1/x^16))))
= x^4 *racine((1+1/x²) * racine((1+1/x^4) * racine((1+1/x^8) *racine(1+1/x^16))))

Ainsi quand par passage à la limite f(x) se comporte comme x^4 en + l'infini car tous les termes dans les racines tendent vers 1

De même pour g :

g(x) = x^(11/4) * racine((1+1/x) * racine((1+1/x^3) * racine((1+1/x^6) * racine(1+1/x^12))))

g se comporte donc comme x^(11/4) en + l'infini

Donc f(x) - g(x) est équivalent à x^4-x^(11/4) en + l'infini, on sait que dans un polynome c'est le terme de plus haut degré qui impose sa limite, ici c'est x^4 qui tend vers + l'infini lorsque x tend vers + l'infini,

D'où f(x) - g(x) -> +l'infini lorsque x->+ l'infini

[dias65]

Dans ce cas tu peux factoriser à chaque fois par la puissance de x dans la racine la plus intérieure et ainsi la sortir de la racine et remonter jusqu'à la première racine, je ne sais pas si je me fais comprendre, par exemple :

f(x) = racine((1+x²) * racine((1+x^4) * racine((1+x^8) * racine(1+x^16))))
= racine((1+x²) * racine((1+x^4) * racine((1+x^8) * x^8*racine(1+1/x^16))))
= racine((1+x²) * racine((1+x^4) *x^8 * racine((1+1/x^8) *racine(1+1/x^16))))
= racine((1+x²) *x^6 racine((1+1/x^4) * racine((1+1/x^8) *racine(1+1/x^16))))
= x^4 *racine((1+1/x²) * racine((1+1/x^4) * racine((1+1/x^8) *racine(1+1/x^16))))

Ainsi quand par passage à la limite f(x) se comporte comme x^4 en + l'infini car tous les termes dans les racines tendent vers 1

De même pour g :

g(x) = x^(11/4) * racine((1+1/x) * racine((1+1/x^3) * racine((1+1/x^6) * racine(1+1/x^12))))

g se comporte donc comme x^(11/4) en + l'infini

Donc f(x) - g(x) est équivalent à x^4-x^(11/4) en + l'infini, on sait que dans un polynome c'est le terme de plus haut degré qui impose sa limite, ici c'est x^4 qui tend vers + l'infini lorsque x tend vers + l'infini,

D'où f(x) - g(x) -> +l'infini lorsque x->+ l'infini

il me reste à trouver la réponse de la dérnière question de la deuxième exo est-ce-que qq un peux me mettre sur une piste? merci

[dias65]

il me reste à trouver la réponse de la dérnière question de la deuxième exo est-ce-que qq un peux me mettre sur une piste? merci