Limites de suites

[maxoudu94]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide à propos d'un exercice dont voici l'énoncé :

Soit (Un) une suite réelle. On pose Pn=U2n et Qn=U2n+1.

Démontrer que si la suite (Un) converge vers un réelle l, il en est de même pour les suites (Pn) et (Qn).

En vous remerciant...

[Huppasacee]

Il faut utiliser la définition de la limite, en l'adaptant un peu :

quel que soit epsilon positif , aussi petit soit il , il existe A appartenant à N tel que

n>A entraine val abs (Un - l ) < epsilon

[maxoudu94]

Voila la définition que j'ai :

La Suite (Un) admet une limite l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit que (Un) converge vers l.
Donc un intervalle du type ]l-r;l+r[ avec r un réel positif.

Pouvez vous me dire comment faire à partir de ça car la je vois pas du tout.

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

Pour ce sens on a pas besoin d'aller trop loin.

Si (Un) converge vers l alors pour tout e>0 il existe N tel que n > N => |Un-l| < e
Alors :

donc (U2n) converge vers l. Même chose pour (U2n+1)

:happy3:

[Huppasacee]

Voila la définition que j'ai :

C.
Donc un intervalle du type ]l-r;l+r[ avec r un réel positif.

Pouvez vous me dire comment faire à partir de ça car la je vois pas du tout.

Prenons et complétons
La Suite (Un) admet une limite l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang A
vrai pour tout n > A, a fortiori pour n> 2A ou n >2A+1

[maxoudu94]

je n'arrive pas à comprendre le raisonnement..

[maxoudu94]

D'ou sortez vous :
Si (Un) converge vers l alors pour tout e>0 il existe N tel que n > N
=> |Un-l| < e

[Huppasacee]

C'est une autre formulation de la définition que tu connais
l'intervalle ouvert est ] l-eps ; l + eps[ et A est le "à partir d'un certain rang"