Limites de suites

[maxoudu94]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide à propos d'un exercice dont voici l'énoncé :

Soit (Un) une suite réelle. On pose Pn=U2n et Qn=U2n+1.

Démontrer que si la suite (Un) converge vers un réelle l, il en est de même pour les suites (Pn) et (Qn).

Voici ce que j'ai fais, mais je ne sait pas si c'est vraiment rigoureux :

On a lim Un=l
Or lim n=lim 2n=lim 2n+1=+inf
Donc si lim Un=l , alors lim U2n=l et lim U2n+1=l
Donc si lim Un=l , alors lim Pn=l et lim Qn=l

En vous remerciant...

[Sa Majesté]

Ça me paraît bon
Pour info les suites et sont des suites extraites ou sous-suites de U
Voir ici
Suites extraites

[maxoudu94]

Merci beaucoup Votre Majesté,
Maintenant, on me demande de démontrer la réciproque, voici l'énoncé :

On suppose que les suites (Pn) et (Qn) convergent vers la même limite l.
Soit I un intervalle ouvert contenant l.
Trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite (Un) sont dans I.

Là je bloque...

[Sa Majesté]

Comment écris-tu mathématiquement que (Pn) et (Qn) convergent vers l (en utilisant I) ?

[maxoudu94]

lim Qn=l et lim Pn=l

Sinon, en utilisant I je ne vois pas

[Sa Majesté]

Je pense que c'est dans ton cours
I étant un intervalle ouvert contenant l, à partir d'un certain N (c'est-à-dire pour tout n>N) tous les Pn sont dans I

[maxoudu94]

Le but c'est de le démontrer, non?

[Sa Majesté]

Pour U oui
Pour P et Q tu le sais puisque c'est ton hypothèse
On suppose que les suites (Pn) et (Qn) convergent vers la même limite l.
Soit I un intervalle ouvert contenant l.
Trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite (Un) sont dans I.

[maxoudu94]

J'avoue avoir du mal à saisir le raisonnement...

[Sa Majesté]

L'énoncé :
On suppose que les suites (Pn) et (Qn) convergent vers la même limite l.
Soit I un intervalle ouvert contenant l.
Trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite (Un) sont dans I.

L'hypothèse c'est bien que (Pn) et (Qn) convergent vers l.

[maxoudu94]

oui, jusque la ça va.