Limites, asymptotes

par **maths511** » 03 Mai 2009, 16:31

[FONT=Arial]Bonjour, :we:

Pourriez vous m'aider svp car cet exercice n'est vraiment pas évident

(o,i,j) est un repere orthonormal. on considère les points A(1;2), I(1;0), H(0;2) et pour tout reel x strictement supérieur a 1, le point P (x,0)
la droit AP coupe l'axe des ordonnées en Q

1) Exprimer IP,OQ et HQ puis l'aire du triangle OPQ ,HAQ et IPA en fonction de x
2) f est la fonction définie sur ]1;+[ par f(x) = x²/(x-1) C est la courbe représentative de (o,i,j)
a) en découpant convenablement le triangle OPQ déterminer les trois réels a b et c tel que pour tout reel x>1 on a :
f(x) = ax+b+c/(x-1)
b) étudiez les limites de f en 1 et en +l'infini. En déduire que C admet deux asymptotes d1 et d2
3) pour quelle valeur de x, l'aire du triangle OPQ est elle minimale ?

(javoue que je suis perdu avec ces qst :s ) [/FONT]

par **Ericovitchi** » 03 Mai 2009, 17:18

Tu as trouvé IP = x-1 ?

Bon après, il te faut calculer l'équation de la droite PQ. Cherches une équation de droite y=ax+b en disant que P, et A appartiennent à la droite. Une fois que tu auras a et b, calcules OQ (l'intersection de cette droite avec l'axe des y) puis l'aire du triangle....

par **maths511** » 03 Mai 2009, 18:14

Alors voilà je te donne des resultats que j'ai trouvé, :happy2:

J'ai trouvé OQ = 2x/(x-1) HQ=(2x)/(x-1) -2
Pour les aires, Aopq = x²/(x-1) Aipa=x-1 et Ahaq=x/(x-1) -1

pour le 2)
a) f(x) x+1-1/(x-1)
b) je trouve que f(x) est asymptote mais je n'arrive pas a trouvé d1 et d2 car aux deux resultats je trouve 0. Je pense qu'avec le calcul se sra plus simple a expliquer ^^ :
f(x) - (x+1) = 1/(x-1)
donc lim (qd x tend vers 1) 1/(x-1) = 0
et lim (qd x tend vers +infini) 1/(x-1)= 0
Je me trompe peux etre quelque part ..
c) (j'ai oublié de l'écrire) mais on me demande juste détudier la variation de f en ]1;+inifni[ et de dresser le tableau de variation. Si j'ai bon au dessus je devrais reussir a le faire. :++:

3) j'ai utilisé la dérivée de f(x), dc f'(x)=1/(x-1)² puis delta
J'en ai conclue que l'aire minimale était x=2 et donc l'aire Aopq=4

Voilà, j'aimerais bien avoir une confirmation de mes résultats (savoir si je suis bien partie ou pas)

par **Cheche** » 03 Mai 2009, 18:14

Salut, nous allons commencer par le début.

Question 1:
- Calcul de longueur
- Pour l'aire des triangles, fait un dessin du problème pour y voir un peu plus.

par **maths511** » 03 Mai 2009, 18:21

Pour le 1) J'ai calculé les cotés IP OQ et HQ mais je n'ai pas fait comme m'a dit Ericovitchi avec les équations de droites, car je n'ai pas reussi à cause du nb d'inconnus

Si qqun pouvait me montrer ce que ça donne avec cette méthode ... Ce serait très gentil. (J'espère trouver la même chose qu'avec mon calcule ^^)

par **Ericovitchi** » 03 Mai 2009, 19:22

Oui ce qui tu as fais est plutôt bien.
Pour f(x) tu trouves bien x+1+1/(x-1) ? (j'ai vu un moins ?)

les asymptotes sont classiques, tu en a une verticale x=1
et puis y=x+1
(puisque f(x) - (x+1) tends vers 0 quand x tends vers l'infini

je ne comprend pas ta dérivée ?

donc

donc minimale pour x=2, oui

par **maths511** » 04 Mai 2009, 20:24

Euh oui c'est un plus et pas un moins à x+1+1/(x+1) ;)

Pour la dérivée j'ai fait
f(x)= x²/(x-1)

u(x)=x² u'(x)=2x
v(x)=x-1 v'(x)=1

(u'v-uv')/v²= (2x(x-1)-x²)/(x-1)²
=2x²-2-x²/(x-1)²
=(x²-2x)/(x²-2x+1)
=1/(x²-2x+1)
comment tu as trouvé 1-1/(x-1)² ?

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