Les polynômes

[Hanaconda]

Bonsoir à tous,

J'ai un exercice niveau seconde, se rapportant au chapitre des polynômes et j'arrive pas à résoudre quelques questions.
Les voici :

1- Soit
a- déterminer a et b ;
( j'ai trouvé a = -2 et b = -8 )
b- factoriser ( )
c- En déduire la factorisation de P(x) en deux polynômes de second degré. ( C'est là que je bloque )

2- Déterminer le reste et le quotient de la division de :

par ;
par ;
par

Je ne sais pas du tout par où commencer. J'ai pensé à la division euclidienne, mais comme les polynômes sont de degrés élevés, le tableau de Horner m'est passé par la tête. Toutefois, je ne sais point comment procéder.

3- Déterminer un polynôme P(x) de second degré tel que P(x+1) - P(x) = x
En déduire la somme = ; n ∈
( donc je suis arrivée là mais j'arrive pas à aller plus loin )

4- Déterminer un polynôme P(x) de 3ème degré tel que
En déduire la somme = ; n ∈

Je vous prie de bien vouloir m'aider.
Merci d'avance!
Bonne année.

[zygomatique]

salut

dans q(x) il suffit de remplacer x par x^2 + 3x pour retrouver p(x) ...



....
P est du second degré et P(x + 1) - P(x) = x

donc en particulier P(1) = P(0) donc P(x) = ax(x - 1) + b

or P(0) = P(-1) + 1 donc b = -2a + b + 1 <=> a = 1/2 donc P(x) = x(x - 1)/2 + b

1 + 2 + 3 + ... + n - 1 + n = P(2) - P(1) + P(3) - P(2) + P(4) - P(3) + ...

...

[Hanaconda]

Merci beaucoup de votre aide.
Mais pour :

Ne devrais-je pas trouver plutôt ?
Et pour la deuxième, j'ai trouvé : . Et comme 11 n'est pas pair, je commence à galérer @_@

Excusez-moi, mais j'arrive pas à comprendre pourquoi P(x) = ax(x - 1) + b ?

[zygomatique]

oui tu as raison j'ai fait une erreur ...



pour le suivant ce n'est pas gênant : 11 est le double de sa moitié ....

[Hanaconda]

Je vois. Merci.
Pourriez-vous me prêter un petit coup de main pour le troisième? Puisque je n'arrive pas vraiment à comprendre.

[Lostounet]

Je vois. Merci.
Pourriez-vous me prêter un petit coup de main pour le troisième? Puisque je n'arrive pas vraiment à comprendre.

Salut,
Il faut que tu apprennnes à faire des divisions euclidiennes car une fois tu sais faire tu sauras diviser n'importe quel polynôme par un autre.

Le fait que 11 ne soit pas pair ne devrait pas gêner! On a le droit de considérer un coefficient 11/2 par exemple.
Imagine tu avais un polynôme avec comme coefficient racine(3). On ne parle pas de nombre pair ou impair... mais on peut quand même écrire racine(3)/2.

Bref essaye: ça prend 1 minute de faire un tableau une fois tu sais faire et que tu te rends compte qu'on a le droit à toute fraction.

[Hanaconda]

Merci beaucoup Lostounet !
Mais ce n'est plus cela qui me gêne, c'est plutôt la troisième question dont je parle.

[zygomatique]

voir mon premier post ...

[siger]

bonsoir

P(x+1)-P(x) = x
d'ou
2ax + b + c = x
ou (1-2a)x + b + c=0
qui sera toujours verifié si (1-2a) = 0 et b + a = 0
donc P(x) = x²/2 -x/2 + c
comme on cherche "un"' polynome on peut choisir c = 0
d'ou P(x) = x(x-1)/2

Comme l'a deja expliqué Zygomatique

P(1) - P(0)=0
P(2)-P(1) = 1
P(3) - P(2) = 2
...
P(n+1) -P(n) = n
en ajoutant membre a membre on obtient
1+2+3+...+n = P(n+1)-P(0) = (n+1)*n/2

[Hanaconda]

Merci bien.
Mais, je n'arrive pas à comprendre pourquoi a-t-on posé c = 0?

[Lostounet]

3- Déterminer un polynôme P(x) de second degré tel que P(x+1) - P(x) = x
En déduire la somme = ; n ∈
( donc je suis arrivée là mais j'arrive pas à aller plus loin )

4- Déterminer un polynôme P(x) de 3ème degré tel que
En déduire la somme = ; n ∈

Pour le 3), il faut savoir la propriété suivante: un polynôme est identiquement nul (pour tout x) si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Soit donc P(x) un polynôme de la forme tel que pour tout x, P(x+1) - P(x) = x.

Donc pour tout x,
En développant tout, nous obtenons, pour tout x:


Or un polynome est identiquement nul ssi tous ses coefficients sont nuls, donc:
a = 1/2
a + b = 0 donc b = -1/2

Mais !?! qu'est-ce qui est arrivé à c ?!
Eh bien on s'en fout ! Car on peut choisir c comme on veut, pourvu que a = 1/2 et b=-1/2 si je choisis c = 10
j'aurais P(x) = 1/2x^2 - 1/2x + 10
dans ce cas P(x + 1) - P(x) = x
Et si je choisis c = 0, j'aurais aussi pareil ! Donc on choisit c le plus simplement possible (la question est de trouver au moins un polynôme)

Donc convient. Et:
P(1) = 0

Et si tu as bien compris, 1 + 2 + 3 + ... + n
= (P(2) - P(1)) + (P(3) - P(2)) + .... (les termes se simplifient et il n'en reste que 2 à la fin).
D'ailleurs, tu ne connais pas la formule ?
Ici la somme 1 + 2 + ... + n = P(n+1) - P(1) = P(n+1) - 0 =

[Lostounet]

La 4) se traite pareil: tu trouves des relations qui conviennent sur les coefficients de ax^3+bx^2+cx+d.
(Le destin réserve à d le même sort que le c du 3)

Pour développer (x+1)^3 il suffit de dire que c'est exactement (x+1)×(x+1)^2 et de développer le deuxième facteur petit à petit.

Petite remarque:

D'ailleurs, tu ne connais pas la formule ?

Si tu ne connais pas, regarde le dessin
Si tu veux compter le nombre de boules bleues, tu fais 1+2+3+...+n (ici n=6 )
L'astuce est de compléter par d'autres boules rouges de sorte à former un rectangle: le total est (n+1) rangées contenant chacune n boules donc en tout (n+1)×n boules.
En divisant par 2 tu trouves le nombre de boules bleues (ou rouges).

[zygomatique]

ce qui est vrai pour tout x est vrai pour certains x !!!



avec c = P(0) = P(1)



donc (1)

et

donc (2)

de (1) et (2) on obtient a et b ...

[siger]

re

une façon "classique" de calculer la somme de n premiers nombres S (pour verifier le resultat)
S = 1+2+3+...+(n-1)+n
S = n +(n-1) + ....+3+2+1
on ajoute chaque terme membre a membre et l'on obtient
2S = (1+n ) +( 2+(n-1) ) + (3+(n-2))+....+1+n
2S= (n+1) + (n+1) +(n+1) +...+(n+1)
2S= (n+1) * n

[Hanaconda]

Je vois mieux.
Merci énormément !
Bonne soirée.