Les congruences

[Anonyme]

Bonjour,
je vien poser ici une question sur les congruences, qui je suis sur n'est pas très compliqué, mais j'ai beau chercher et je ne trouve pas de solution a mon problème.
j'ai comme énoncé : a^2 + 9 = 3^n

Et je dois montrer que pour tout n supérieur ou égal a 3, alors 3^n est congru a 1 ou a 3 modulo 4.

si vous pouvez m'aider ça serai super :)
merci d'avance :)

[flight]

salut

3^n=9+a²

alors 3^n =9[a²] en choisissant a=2

il vient 3^n=9[4] soit 3^n=3²[4]

comme 3²=9=4+5 alors 3²=5[4] et que 5=4+1 soit 5=1[4]

il vient 3^n=1[4]

[Sphinx]

C'est simple:a est pair ou impair.
Si a est pair,a=2p,donc a^2=4p^2 et est donc congru à 0 modulo 4.
3^n est donc congru à 9,soit à 1 modulo 4.

Si a est impair,a=2p+1,donc a^2=4p^2+4p+1 et est donc congru à 1 modulo 4.Alors 3^n est congru à 1+9=10,soit à 2 modulo 4.

Donc il y a une erreur dans ton énoncé.Ce n'est pas 1 ou 3 modulo 4,mais 1 ou 2 modulo 4.
Ciao!

[Anonyme]

Merci de ta réponse.
Mais je dois choisir a = 2 pour que ce raisonnement soit juste ?

[Anonyme]

Merci a toi aussi Sphinx.

L'énoncé est bien ce que j'ai écrit, dailleur la question suivant me demande de prouver que si a existe il est forcement pair et par consequent n aussi est pair.

Je pense comprendre ton résonnement, merci :)