Rédaction sur les congruences

[Bertrand Hamant]

Bonjour, en faisant cet exercice d'arithmétique sur les congruences, je me suis demandé si la rédaction de mes résultats étaient corrects. Merci d'avance

1) Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que : 123u + 2003 v = 1


Application de l'algorithme d'euclide : nous trouvons ( u ; v ) de Z²( 114 ; -7 )


2) En déduire un entier relatif K tel que 123.k = 1 [2003] ici = congruence

J'ai dit qu'il existait p dans Z, tel que 123k - 2003 p =1 , donc d'après le théorème de bézout, de l'étude précédante, on trouve k = 114

3) Montrer que pour tout réel x, 123 x = 456[2003] si et seulement si
x = 456.k[2003]

Je sais que cette démonstration suggère une réciproque. J'ai raisonné ainsi, je voulais savoir si le raisonnement et correct pour aboutir à cette conclusion.

J'ai dit donc qu'il existait y dans Z tel que 123 x - 2003y = 456

donc d'après l'étude précédante on en déduit que x = 114*456 = 51984

et que y = 3192. or on constate que 51984 = k.456 donc

51984 = 1909[2003] et k.456 = 1909[2003]

donc x = 1909[2003] et k.456[2003] par conséquent x-k.456 = 0[2003]

d'où x = k.456[2003] est ce correcte au niveau de la logique. ???

123x = 456[2003] si et seulement si x = 456.k[2003]

Merci de votre confirmation

[Mikou]

2) En déduire un entier relatif K tel que 123.k = 1 [2003] ici = congruence

J'ai dit qu'il existait p dans Z, tel que 123k - 2003 p =1 , donc d'après le théorème de bézout, de l'étude précédante, on trouve k = 114 ?

il exite dapres bezout u,v ds Z² tq 123u-2003v=1
or 2003v=0 mod 2003 dou 123u=1 mod 2003. ( il ya equivalence , k=114 marche bien)

[allomomo]

Salut,

[Bertrand Hamant]

et pour la suite, est ce logique, je sais qu'on doit faire un raisonnement comme avec les équations différentielles, si et seulement si, mais je voulais savoir si ce que j'ai marqué est juste mikou ??


Merci

[Mikou]

equa diff ? nan pour la 3 utilise la reponse a la question 2, c'est immediat

[Bertrand Hamant]

oui donc c'est bon ce que j'ai fait ??

[allomomo]

Salut,

[center][/center]

Source : Académie de Gronoble // Bac S : 2003 (donc tu peux chercher et trouver les réponses mais c'est pas bon pour progresser...)

[Bertrand Hamant]

oui d'accord mais c juste ce que j'ai mis pour la 3 ème question allomomo ?

[Mikou]

a ouai jlai eu en ds de spé :)

[Bertrand Hamant]

Bon donc c'est pour la 3ème.

Après pour la 4ème, on utilise Gauss


Et on trouve pour x = 2003 k + 51984 or 51984 = 1909[2003]


par conséquent x = 2003k + 2003*25 + 1909 soit x = 2003(k+25) + 1909

et x = 2003 K' + 1909 avec K' = k+25 c bon ??

[Bertrand Hamant]

cest bon ??


Merci de votre réponse