A l'aide, exercice de spé maths sur les congruences !

par **terminalspé** » 05 Nov 2007, 19:34

Bonjour, merci d'avance pour votre aide !!

Soit n un entier naturel non nul.
On pose : Un = 1^3+2^3+...+n^3

1) Demontrer par recurrence que :
quelque soit n appartenant à N*, Un= (n(n+1)/2)²

2) Démontrer que :
n^3+2n^2+n est congru à 0 (modulo 4) si et seulement si Un est congru à 0 (modulo n)

3) En déduire l'ensemble des valeurs de n tel que Un congru à 0 (modulo n)

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour les questions en gras !

par **terminalspé** » 05 Nov 2007, 19:42

pleaseee je dois le rendre bientot !!! :cry:

par **lapras** » 05 Nov 2007, 19:57

salut,
(n(n+1))² = n²(n²+2n+1) = n^4 + 2n^3 + n² = n(n^3 + 2n² + 1)
Un = (n(n^3 + 2n² + 1))/4

si Un est divisible par n alors...
Que peux tu en conclure ?
:we:

par **terminalspé** » 05 Nov 2007, 20:05

merci :D, mais attend juste la pour la partie Un est congru à 0 modulo n tu ne l'as pas démontré, si ? :help:

par **lapras** » 05 Nov 2007, 20:25

Un congrue a 0 modulo n = Un divisible par n
Il faut que tu montres dans l'autre sens pour le "si et seulement si" :
si n^3+2n^2+n = 0 [4] n alors n^3+2n^2+n = 4k
donc
Un = (n*(4k))/4 = k*n donc n = 0 [n]

:happy2:

par **terminalspé** » 05 Nov 2007, 23:53

Donc alors je doiis mettre les deux réponses que tu as données à la suite pour que le raisonnement soit juste ou c'est simplement le second ?

par **lapras** » 06 Nov 2007, 00:03

le si et seulement si implique les deux démonstrations :
soit A et B deux propriétés
A si et seulement si B revient a démontrer que A implique et B implique A
par exemple
x + 1 =0 si et seulement si x = -1

x = -1 implique x +1 = 0
x+1= 0 implique x = -1

Voila :d

par **terminalspé** » 06 Nov 2007, 00:10

Donc si je comprend bien, toi, ce que tu as fait ce n'est pas un raisonnement par "si et seulement si" mais par "si...alors" puisque le raisonnement par "si et seulement si" englobe les deux demonstration en une seule...enfin je suis pas sur !

par **terminalspé** » 06 Nov 2007, 00:23

Oui alors je peux remplacer le raisonnement "si et seulement si" par les deux implications ?

par **lapras** » 06 Nov 2007, 00:27

Oui c'est ca.
Un si et seulement si est en fait une équivalence "<=>" ! :we:

par **terminalspé** » 06 Nov 2007, 00:29

Oui je le fais souvent en maths obligatoire mais en spé c'est la première fois...tu penses que le plus judicieux c'est de faire les deux implications ou le "si et seulement si" avec "<=>" ?

par **terminalspé** » 06 Nov 2007, 10:11

?? et pour la question 3 tu peux m'aider aussi s'il te plait ? :triste:

par **lapras** » 06 Nov 2007, 10:15

n^3 + 2n² + n est divisible par 4 si et seulement si n est divisible par 5, c'est obligé !
Donc...

par **terminalspé** » 06 Nov 2007, 11:35

lapras a écrit:n^3 + 2n² + n est divisible par 4 si et seulement si n est divisible par 5, c'est obligé !
Donc...

Je comprend pas :triste: :cry:

par **terminalspé** » 06 Nov 2007, 12:56

pourquoi 5 ???

par **terminalspé** » 06 Nov 2007, 14:54

?? LOL :triste:

par **terminalspé** » 06 Nov 2007, 15:23

Je comprend pas pour la question 3 à l'aide ?

par **terminalspé** » 06 Nov 2007, 16:46

Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?

A l'aide, exercice de spé maths sur les congruences !

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