Les barycentres

[Toni2]

Bonjours à toutes & à tous,

J'ai un problème de signe avec mon exo sur les barycentre, je vous expose le problème :

EXO:
Une ligne de niveau
A et B sont deux points distincts du plan.
, et k sont trois réels tels que .
On cherche à déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :


1°Étude générale.
a)Soit G le barycentre du système :
{(A;);(B;)}.
En écrivant et une égalité identique pour , montrer que :

b) En déduire que :


Mes réponses :

1°
a) Puisque et alors,
et donc,




b) J'ai essayé faisant,



Et je suis bloqué puisque si je met GM²=... je doit changer les signes de plus, je ne voi pas d'où viens k(qui doit apparaître).

Si quelqu'un peut m'aider je le remercie d'avance :help: !

[annick]

Bonjour,
il faut dire que tu as fait une belle erreur : (je ne mets pas les vecteurs, mais ils y sont)

MA²=(MG+GA)²=MG²+2MG.GA+GA² Et oui, c'est une identité remarquable

[Toni2]

Bonjour,
Merci de ton aide, alors mon 1° est faux ?

[annick]

Tu arrives à la bonne conclusion par hasard : (je vais appeler a et b les nombres alpha et beta et je ne mets pas les vecteurs qui y sont pourtant, car je ne manipules pas le latex, honte à moi :cry: )

aMA²+mMB²=a(MG+GA)²+b(MG+GB)²=
aMG²+2aMG.GA+aGA²+bMG²+2bMG.GA+bGB²=
MG²(a+b)+aGA²+bGB²+2MG(aGA+bGB)

Or G barycentre de (A,a)(B,b), donc aGA+bGB=0, ce qui annule le dernier terme de l'expression précédente

[Toni2]

En effet je n'est pensé aux produits scalaire...
Alors pour le 2) Où est mon erreur, pourquoi j'ai un problème avec les signes et avec k ?
Sagit-il encore d'une question de produits scalaire ?

Merci.

[annick]

je ne comprends pas pourquoi tu écris :

(a+b)MG²+aGA²+bGB²=0 alors que l'on avait aMA²+bMB²=k

Donc à partir de là :

(a+b)MG²+aGA²+bGB²=k

(a+b)MG²=k-aGA²-bGB²

MG²=(k-aGA²-bGB²)/(a+b) ce qui est bien ce que l'on te demandes de prouver

[Toni2]

Et oui...
Je ne pensé plus à ce qui m'était donné c'est à dire aMA²+bMB²=k :marteau:
Ce qui bien sure me fait apparaître naturellement k, j'ai bien compris où était mon horrible erreur.

J'ai oublier dans mon premier post qu'ensuite il me demande :
Discuter de la nature de selon la valeur de :
k-aGA²-bGB².

Qu'entendent-ils par discuter de la nature ?
Encore merci.

[annick]

Tu as
MG²=(k-aGA²-bGB²)/(a+b)

Donc si (k-aGA²-bGB²)=0, cela veut dire MG²=0 donc M confondu avec G et ton ensemble de point Gamma se résume à G

Sinon,MG² est une constante donc M est sur le cercle de centre G et de rayon racine carrée (k-aGA²-bGB²)/(a+b)

Il ne faut pas non plus que (k-aGA²-bGB²)/(a+b)
soit négatif car un carré n'est jamais négatif et sinon, ton ensemble se ramène à l'ensemble vide.

C'est ça, discuter suivant les cas

[Toni2]

Je vois, je rédigerais sur ma copie les différente nature que prend selon la valeur de k-aGA²-bGB², merci.
La dernière question est de Déterminer et construire l'ensemble, évidement il me fournissent des données : Ab=10 ; a=2 ; b=3 et k=165.

Il me suffirait de remplacer les valeurs dans l'expression mais que devient (-aGA²-bGB²) ? Je doit utiliser la relation de Chasles pour faire intervenir AB ?

[Toni2]

Up, svp ! :help: