Exercice sur les nombres complexes et les barycentres

[Ohohxmeei]

L'énoncé :

La plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, V ) (unité graphique 1 cm).

1° Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation suivantes: z² - 8;)3 z + 64 = 0.

Je trouve S = { 4;)3 - 4i ; 4;)3 + 4i }.

2° On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes:
a = 4;)3 - 4i et b = 4;)3 + 4i.

a) Ecrire a et b sous forme expotentielle.

J'ai calculé pour a = 8 ( cos -;)/6 + i sin -;)/6 ) = 8 e^(-i ;)/6)
b = 8 ( cos ;)/6 + i sin ;)/6 ) = 8 e^(i ;)/6)

b) Calculer les distances OA, OB, AB.
En déduire la nature du triangle OAB.

Je trouve OA = OB = AB = 8 <=> OAB triangle équilatéral.

3° On désigne par C le point d'affixe c = -;)3 + i et par D son image par la rotation de centre O et d'angle -;)/3.
Déterminer l'affixe du point D.

Je trouve d = (3/2) + (1/2) i.

4° On appelle G le barycentre des trois points pondérés : (O ; -1), (D ; +1) et (B ; +1).

a) Justifier l'existence de G et montrer que ce point a pour affixe : g = 4;)3 + 6i.

Et là, je vois pas du tout comment faire. Aidez-moi SVP ^^'.

[Sa Majesté]

Salut

1° et 2° OK
3° non pour d (d'ailleurs OD n'est pas égal à OC, or ça devrait être le cas puisque c'est une rotation de centre O)

[Ohohxmeei]

Ah merde oui ! d = 2i ?
J'ai oublié un i quelque part ^^'

Mais pour la 4° comment on fait pour trouver l'affixe de G ?

[Sa Majesté]

Tu dois avoir une formule dans ton cours
zG = (a zA + b zB + c zC)/(a+b+c)

[Ohohxmeei]

Ah ok ! Merci bcp ! :D

Mais le problème c'est qu'on a pas fait de cours sur les barycentre et les nombres complexes !
On a fait un cours cette année sur les nombres complexes et un cours l'année dernière sur les barycentre mais on a pas vu les deux ensembles mdr.

[Sa Majesté]

C'est pas très compliqué à mixer
Si G est barycentre de {(A,a);(B,b);(C,c)} alors
Et en passant aux affixes
zG = (a zA + b zB + c zC)/(a+b+c)