[2nd] Justification de vrai / faux

[Peterriaz]

Bonjour,
J'ai un devoir à rendre composé presque exclusivement de vrai/faux, les questions ne sont pas vraiment difficiles mais la justification de certaines me laisse de marbre...
Voici l'énoncé avec mes recherches, pourriez vous me donner des pistes ou corriger certaines ? Je vous en serais reconnaissant

1)Pour tout x R, (x-1)²=x²-2x+1
Vrai avec l'identité remarquable qui donne (x-1)² = (x-1)²
2)Il existe un x R tel que (x-1)²=x²-2x+1
Vrai car valable pour tous les x comme vu précédemment
3)Pour tout x R, (x-1)(x+2)=0
Faux. Après développement, x²+x=0 donc valable uniquement pour x=1 ou x=-2
4)Il existe x R, (x-1)(x+2)=0
Vrai car x=1 et x=-2 valable comme vu précédemment
5)Pour tout x R, x²;)x+2
Faux. Contre exemple avec x=2 qui donne 4=4
6)Il existe x R, x²;)x+2
Vrai pour tout x;)2
7)Si x;)1 alors x²;)1
Vrai mais absolument aucune idée de la justification à faire...
8)Si x²;)1 alors x;)1
Toujours vrai, toujours pas d'idée
9)Pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel p tel que p;)n
10)Il existe un entier naturel n, tel que pour tout entier naturel p, p;)n
11)Il existe un entier naturel p, tel que pour tout entier naturel n, p;)n
12)Pour tout entier naturel p, il existe un entier naturel n tel que p;)n
Ces dernières questions me semble tout à fait logique mais je ne vois pas comment justifier. Pourriez vous me donner la procédure ?

Merci !

[gwendolin]

bonjour,

1)Pour tout x ;) R, (x-1)²=x²-2x+1
;)Vrai l'identité remarquable (a-b)²=a²-2ab+b²

2)Il existe un x ;) R tel que (x-1)²=x²-2x+1
;)faux, tu viens de dire le contraire

3)Pour tout x ;) R, (x-1)(x+2)=0
;)Faux. si ab=0, alors a=0 ou b=0
-->x=0 ou x=-2

4)Il existe x ;) R, (x-1)(x+2)=0
;)Vrai car x=1 et x=-2

5)Pour tout x ;) R, x²;)x+2
;)Faux. Contre exemple avec x=2 qui donne 4=4


6)Il existe x ;) R, x²;)x+2
;)Vrai pour tout x;)2

7)Si x;)1 alors x²;)1
;)Vrai x=1-->x²=1

8)Si x²;)1 alors x;)1
;)faux quand x²=1 , on a soit x=1 ou x=-1

[Peterriaz]

Bonjour,
Pour la 2) je considérais que si l'égalité est vérifié par tout x ;) R, il existe forcement au moins un x qui vérifie l'équation...
Merci pour les questions 7) et 8)
Aucune idée pour les 4 dernières questions ?

[Darkwolftech]

bonjour,

1)Pour tout x R, (x-1)²=x²-2x+1
Vrai l'identité remarquable (a-b)²=a²-2ab+b²

2)Il existe un x R tel que (x-1)²=x²-2x+1
faux, tu viens de dire le contraire

3)Pour tout x R, (x-1)(x+2)=0
Faux. si ab=0, alors a=0 ou b=0
-->x=0 ou x=-2

4)Il existe x R, (x-1)(x+2)=0
Vrai car x=1 et x=-2

5)Pour tout x R, x²;)x+2
Faux. Contre exemple avec x=2 qui donne 4=4


6)Il existe x R, x²;)x+2
Vrai pour tout x;)2

7)Si x;)1 alors x²;)1
Vrai x=1-->x²=1

8)Si x²;)1 alors x;)1
faux quand x²=1 , on a soit x=1 ou x=-1

Salut,

Pour la 2, je suis de l'avis de Peterriaz, puisque c'est "au moins un x"
Pour la 7, c'est juste à condition de rajouter que la fonction carré est croissante sur [1; + infini[

Lucas

[beagle]

"9)Pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel p tel que p;)n
10)Il existe un entier naturel n, tel que pour tout entier naturel p, p;)n
11)Il existe un entier naturel p, tel que pour tout entier naturel n, p;)n
12)Pour tout entier naturel p, il existe un entier naturel n tel que p;)n"

9)on prend un entier n, est-ce que l'on peut trouver un autre entier p qui serait plus grand?
Ben faut espérer, non?
n+1 ou 2n ou ... feront l'affaire

10) on prend un entier n, puis on prend tous les entiers autres que n, les p et on veut que p soit plus grand,
bah on dirait que n doit ètre petit petit, le mieux serait le plus petit,
s'il y a un entier qui est le plus petit cela collera

11)on cherche maintenant le plus grand entier possible et on l'appellera p,
ben c'est possible ça?

12)on prend un entier p, on cherche l'existence d'un entier qui serait plus petit,
ben oui ça existe,
et heureusement pour zéro on p=n= 0 qui marche

voili voilo!

[Peterriaz]

10) on prend un entier n, puis on prend tous les entiers autres que n, les p et on veut que p soit plus grand,
bah on dirait que n doit ètre petit petit, le mieux serait le plus petit,
s'il y a un entier qui est le plus petit cela collera

Bonjour et merci pour votre aide,
Je pense que cette question est fausse. Il n'existe pas d'entier naturel inférieur ou égal à toute valeur de x si je ne me trompe ?

[Darkwolftech]

Bonjour et merci pour votre aide,
Je pense que cette question est fausse. Il n'existe pas d'entier naturel inférieur ou égal à toute valeur de x si je ne me trompe ?

Comment tu définis x ? :ptdr:

[Peterriaz]

Comment tu définis x ? :ptdr:

x R
Mais je suppose que vu le smiley j'ai dit une bêtise

[Darkwolftech]

x R
Mais je suppose que vu le smiley j'ai dit une bêtise

Non pas du tout !!!
C'était juste pour savoir ^^
Alors en effet si tu prends n'importe quel x<0, tu n'as aucun entier naturel plus petit :lol3:

[Peterriaz]

Restons dans les questions logiques,
La fonction inverse est elle décroissante sur ]-;);0[ U ]0+;)[ ?

Fonction inverse évidemment défini par : 1/x
Je serais tenter de répondre oui mais y'a t'il un piège avec le fait que x=0 soit interdit ? Les axes sont asymptotes...

[Darkwolftech]

Restons dans les questions logiques,
La fonction inverse est elle décroissante sur ]-;);0[ U ]0+;)[ ?

Fonction inverse évidemment défini par : 1/x
Je serais tenter de répondre oui mais y'a t'il un piège avec le fait que x=0 soit interdit ? Les axes sont asymptotes...

Oui elle est décroissante sur ton intervalle. En seconde, je suppose que c'est une propriété de cours (en fait je me rappelle plus de ma seconde ... :ptdr: ), mais en première tu le prouves avec les dérivées ...

[beagle]

x R
Mais je suppose que vu le smiley j'ai dit une bêtise

bah si t'as dit une bétise,
les questions 9),10),11),12) concernent les entiers au naturel,
cela exclut les entiers à la fraise, les entiers au chocolat,
et donc que vient faire x réel dans le commentaire de ma réponse naturelle à la question 10)?
certes la question est réelle, mais c'est pas une raison...

[Ben314]

Salut,

7)Si x;)1 alors x²C
On peut utiliser la croissance de la fonction x² comme le dit Darkwolftech ou le faire "à la main":
x² 1 ssi x²-1 0 ssi (x-1)(x+1) 0 et c'est vrai lorsque x 1 vu que dans ce cas x-1 0 et x+1 2 0

9) Pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel p tel que p;)n
Vrai : Une fois n choisi, on prend p=n (ou p=n+1 qui donne en plus une inégalité stricte)

10) Il existe un entier naturel n, tel que pour tout entier naturel p, p;)n
Vrai : On prend n=0 et on a bien p;)n pour tout entier p

11) Il existe un entier naturel p, tel que pour tout entier naturel n, p;)n
Faux : quelque soit le p choisi, si on prend n=p+1, on n'a pas p;)n

12) Pour tout entier naturel p, il existe un entier naturel n tel que p;)n
Vrai : Une fois p choisi, on prend n=p.
Par contre, ça serait faux avec une inégalité stricte vu que, pour p=0, il est impossible de trouver un naturel n<p.

Le but de ces 4 dernières questions est de bien faire comprendre la différence entre :
a) Il existe p, tel que pour n... qui dit qu'il existe un p indépendant de n tel que...
b) Pour tout n il existe p, tel que... qui dit qu'il existe un p dépendant de n tel que...