L'irrationnel e

[xavierrff]

Bonjour,

n entier naturel.

Un=1+(1/1!)+(1/2!)+...+(1/n!)

Vn= Un + (1/n!)

On admet que la limite commune de U et V est le nombre reel "e" tel que ln(e)=1.

On suppose que e est un nbre rationnel , cest a dire qu'il existe des entiers p et q premiers entre eux tel que e =p/q.

a) q! Uq < p(q-1)! < q! Uq+1
b) En deduire que e n'est pas rationel.

Merci

[Mikou]

la suite Vn sert a quoi ici ?

[El_Gato]

Salut
1- croît, et on voit tout de suite que décroît. De plus , et converge vers 0.

Ainsi le couple est un couple de suite adjacentes et on a pour tout n:
.
Si on suppose , alors pour les inégalités précédentes deviennent:
ce qui conduit tout de suite à l'inégalité demandée.

2- Il suffit d'observer que est un entier. Alors serait strictement compris entre un entier et son successeur: c'est impossible.

Ainsi e est irrationnel.

[xavierrff]

merci pour ta reponse.

1. sa marche sauf qu'il me manque un petit quelquechose!

Uq < p/q < Uq+1/q!

donc q! Uq < p(q-1) < q! Uq +1
Je n'ai pas le " p(q-1)! "...

2. Ok, mais comment on montre que q!Uq est un entier?!

Merci d'avance!

[El_Gato]

1. sa marche sauf qu'il me manque un petit quelquechose!

Uq < p/q < Uq+1/q!

donc q! Uq < p(q-1) < q! Uq +1
Je n'ai pas le " p(q-1)! "...

Si, Uq < p/q < Uq + 1/q! donne bien q!Uq < p(q-1)! < q! Uq + 1 et non pas le p(q-1) que tu as écris.

2. Ok, mais comment on montre que q!Uq est un entier?!

Uq vaut 1/1! + ... + 1/q!. Tu multiplies chaque terme par q!. Or chaque dénominateur de chaque fraction divise évidemment q!.
Donc Uq est une somme d'entiers. Donc un entier.