Inégalités

[kikoo]

Bonjour :we:
je bloque sur une question.
Soit In la suite définie pour tout entier N par In = intégrale de 1 à e de
x (ln(x))^n dx si n>1 et Io = intégrale de 1 à e de x dx

On a In= (- N/2 )In-1 + e^2/2
On a In+1 - In = 1/2 [e^2- (n+3)In ] et In - In-1 = 1/n [(n+2)In - e^2]
En déduire que e^2/n+3 < In < e^2/n+2 pour n>1
Je crois qu'il faut juste utiliser les 2 équations précédentes.

Merci beaucoup

[kikoo]

Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ?

merci !!!!!!!!

[Master_Of_Puppets]

On démontre d'abord que pour tout entier n:

exp(2)/(n+3)-In<0

exp(2)/(n+3)-In=(exp(2)-(n+3)In)/(n+3)=2(In+1-In)/(n+3)
Il faut donc étudier le signe de:
In+1-In=Intégrale de 1 à e de x(ln x)^n(ln x-1) dx
On pose f(x)=x(ln x)^n(ln x-1); si on arrive à démontrer que pour tout n, f(x)<0 sur [1;e] (ce qui me semble vrai par conjecture), alors on pourra en déduire que, comme 1In+1-In<0...et notre égalité est alors démontrée!:king2:

Mais bon, ne nous emballons pas trop vite...il faut d'abord réussir à démontrer par récurrence que f(x)<0 pour n entier.

Quant à la seconde inégalité, il me semble que c'est le même genre.

[Master_Of_Puppets]

C'est bon, c'est bien démontrable! Sauf que, contrairement à ce que j'ai écrit, il n'y a pas besoin d'utiliser le raisonnement par récurrence: il y a beaucoup plus simple.:zen: