Devoir Inégalités et Vecteurs

[Bastoon91]

Bonjour à tous !

J'ai un devoir de maths pour dans 2 semaines et je seche vraiment, pas moyen de trouver les solutions.
Si vous pouviez me donner le chemin à suivre, ca serait tres gentil de votre part !

Voilà l'exercice :

Ex 1

Devant un bocal de caramels, Pierre se dit « pour être sur d’avoir :
-2 caramels de même couleur, il faudrait que j’en prenne au minimum 4
-2 caramels de couleurs différentes, il faudrait que j’en prenne au moins 12
-2 caramels bleus, il faudrait que j’en prenne au moins 10
-2 caramels verts, il faudrait que j’en prenne au moins 16

Combien y-a t-il de couleurs différentes dans ces caramels ?
Combien y-a-t-il de caramels dans le bocal ?

Merci beaucoup de votre aide.

Cordialement

[Jonny]

Salut,
bizarre ton titre, quel rapport avec des vecteurs ?

Pour le nombre de couleurs d'abord.
Fais toi un schéma. Dessine plusieurs bocaux : fais en un avec deux couleurs différentes (il y a au moins le bleu et le vert), puis un avec 3 couleurs différentes, et un avec 4.

Pour avoir deux caramels de même couleur, il faut que tu en prennes au moins 4. Ce qui veut dire que si tu en prenais 3, tu ne pourrais pas être sûr d'en avoir deux de mêmes couleurs.

Sur tes schémas, entoure 4 caramels dans chaque bocal, en essayant au maximum de ne pas prendre deux caramels de même couleur.
Tu vas voir que ça ne marche que pour un nombre de couleurs.

Bonne chance ;)

[Bastoon91]

La vitesse à laquelle vous avez trouvé m'epate ! Merci beacoup de votre aide !

[Bastoon91]

Néanmoins, ne faut-il pas dessiner 4 bocaux au lieu de 3 ? Car il y a 4 situations !!N'est-il pas possible de resoudre ce probleme sous formes d'inegalites ou autres ?

[Bastoon91]

personne d'autre ne peut m'aider ?

[Jonny]

Il y a 4 situations ? Non, il n'y en a qu'une seule qui fonctionne, pour les données.

Je te fais dessiner 3 bocaux différents, dont 2 sont faux et ne peuvent pas marcher.

En faisant comme je t'ai dit, tu vas constater que deux sont obligatoirement en contradiction avec la première donnée de l'énoncé.
Je t'ai dit d'en faire 3, parce que le nombre de couleur est forcément supérieur à 2, et puis avec un peu de chance, pas trop élevé non plus.

Essaye en faisant comme ça.

Sinon, tu vas ensuite te ramener à un système de 3 équations à 3 inconnues, je sais pas si il y a d'autres méthodes, je vois que ça de vraiment abordable.

EDIT : je pense qu'on a pas la même idée de ce qu'est une situation. Si tu parles des 4 données de ton énoncé, alors concentre toi uniquement sur la première pour trouver le nombre de couleurs. Les autres viennent ensuite pour trouver le nombre de caramels par couleur.

[Bastoon91]

je ne suis qu'en seconde, je ne sais pas faire les systemes d'equations à 3 inconnues, pas moyen de faire ça avec des inegalités ??

[Jonny]

Oups, ben effectivement c'est moi. C'est un système à 2 équations. En fait il y a 3 inconnues mais une autre condition te permet de trouver les 3 solutions.

Trouve le nombre de couleurs déjà =)

[Bastoon91]

Mais combien y a t-il de caramels dans les 3 bocaux que tu m'as fait dessiner ?? Comment faire ? Merci

[Jonny]

Le nombre de caramels par bocal n'importe pas.

Par exemple, fais tes schémas avec 5 caramels pour chaque couleur.

___

Sinon tu n'es pas obligé de faire avec des schémas. C'est le plus simple à mon avis, mais si ça ne te parle pas, tu peux toujours réfléchir sans support.

Tu as besoin de 4 caramels pour être sûr d'en avoir deux de la même couleur :

Supposons qu'il n'y ait que deux couleurs de caramels : Logiquement, en prenant 3 caramels je suis sûr d'en avoir deux de la même couleur. Or je devrais en avoir besoin de 4 pour être sûr, donc il y a plus de deux couleurs.

Maintenant, combien faudrait-il que je prenne de caramels en supposant qu'il y a 3 couleurs ? 4 couleurs ?

Conclusion ?

[Bastoon91]

Je pense avoir trouvé les couleurs ; il y a le bleu, le vert, et une autre couleur qu'on ne connait pas. Ca en fait 3 ! C'est pour ça qu'il faut prendre 4 caramels, comme il y a 3 couleurs, je serai sur d'en avoir au moins deux identiques !!!
Mais comment faire pour le nombre de caramels ?

[Jonny]

Voilà, c'est ça =)

Pour le nombre de caramels, raisonne par nombre de caramel par couleur, et prends les données dans l'ordre.

Par exemple,
"-2 caramels de couleurs différentes, il faudrait que j’en prenne au moins 12"

Quelle information cela t'apporte-t-il ? Raisonne de la même manière que pour trouver le nombre de couleurs. "S'il faut que j'en prenne au moins 12 pour en avoir deux différents, cela veut dire que si j'en prenais 11, je ne serais pas sûr d'en avoir 2 différents"

Que peux-tu conclure de ça ?

[Bastoon91]

"-2 caramels de couleurs différentes, il faudrait que j’en prenne au moins 12"
Ca veut dire qu'il y en a plus de 12 ? 13 ? 14 ?

[Jonny]

Ca n'est pas ça qui est intéressant : encore une fois, raisonne par nombre de caramels par couleur.

N'essaye pas de chercher le nombre de caramel total, mais le nombre de caramels bleus, verts et rouges (par exemple).

Je pousse un peu plus loin le raisonnement : Si je n'en prenais que 11, je ne serais pas sûr d'en avoir deux différents. Cela veut dire que je pourrais en avoir 11 pareils. 1 caramel de plus et je suis sûr d'en avoir deux différents.

Que représente ce nombre 11 ?

[Bastoon91]

Mais, même si j'en prends 12, je pourrais en avoir 12 pareils nan ? Comment etre sur d'en avoir 2 differents ??

[Jonny]

Non, si tu en prends 12, tu es sûr d'en avoir deux différents, c'est précisément l'énoncé. Le cas limite pour qu'il y ait possibilité de n'avoir que des caramels pareils, c'est d'en prendre 11.

[Bastoon91]

"-2 caramels de même couleur, il faudrait que j’en prenne au minimum 4
-2 caramels de couleurs différentes, il faudrait que j’en prenne au moins 12
-2 caramels bleus, il faudrait que j’en prenne au moins 10
-2 caramels verts, il faudrait que j’en prenne au moins 16"

Pour le premier cas, s'il il m'en faut 4 minimum, ca veut drie qu'il y en a plus de 4 nan ? pareil pour les autres cas ? Ou il y en a 3 alors ? Ou il y en a tout simplement 4 ? et je fais la meme chose pour chaque cas ??

[Jonny]

Je vois pas bien ce que tu veux dire.. Tu vas te retrouver à dire qu'il y a plus de 16 caramels en tout. Et ça s'arrête là.
On te donne plus d'informations que ça quand même. La première proposition t'a servi à trouver le nombre de couleurs.

Pourquoi parles tu de cas ? Tu comprends bien que toutes les données concernent un seul et même bocal ?

Concentre toi sur la seconde proposition : Elle indique que, ce serait possible, en ne prenant que 11 caramels, qu'ils soient tous pareils.

Je pourrais avoir 11 rouges, ou 11 bleus, ou 11 verts. Si j'en prenais 12 j'en aurais 11 rouges et 1 d'autre couleur, ou 11 bleus et 1 d'autre couleur, ou encore 11 verts et 1 d'autre couleur.

Ce nombre 11, il représente quoi ?

[Bastoon91]

Ce nombre 11 represente le nombre de caramels contenus dans le bocal ? Ou bien, l'on fait 11x3, 10x3, 4x3 et 16x3 pour trouver le nombre de caramels contenues dans le bocal ? Etant donné qu'il y a 3 couleurs....

[Jonny]

Non, de toutes façons 11 ne peut pas être le nombre de caramels dans le bocal, il y en a au moins 16 d'après la dernière proposition.

Je ne vois pas comment t'aider sans te donner plus d'éléments de réponses.

Prends un stylo vert, un bleu et un rouge. Dessine un bocal, et dessine 15 caramels par couleur. (Attention : je dis 15 par couleur en exemple, ça n'est pas la bonne réponse)

Maintenant prends un stylo noir, et entoure 11 caramels d'une même couleur : Par exemple la couleur bleue.
Arrivé au moment d'entourer le 12eme caramel, tu dois en entourer un d'une couleur différente, selon la proposition (puisqu'en en prenant 12, tu en as un de couleur différente des autres obligatoirement.) Entoure un vert par exemple. Ca y est tu as entouré 12 caramels. Mais il te reste 4 bleus non entourés. Ces 4 bleus là n'existent donc pas (barre-les sur ton schéma) : sinon tu aurais pu prendre 12 bleus, et la phrase n°2 aurait été fausse.
Regarde ton schéma, ce nombre 11, que représente-t-il dans ce cas-là?

Il reste maintenant 2 cas : si tu avais commencé par entourer 11 verts, ou si tu avais commencé par entourer 11 rouges.

Si avais entouré 11 verts, qu'aurait été ce nombre 11 ? Et si tu avais entouré 11 rouges ?

Maintenant, en considérant les 3 cas possibles, que représente ce 11 ?