Démontrer, resoudre des inégalités

par **Benoit56** » 16 Oct 2009, 12:35

Bonjour, j'ai un soucis en maths, je n'arrive pas à faire ces exercices.
Si vous pouviez m'aider en m'expliquant ce serait sympa de votre part :

Exo1
1. Soit a un réel strictement positif quelconque ( a appartient à]0;+l'infini]
Démontrez que a/(a+1) < (a+1)/(a+2)
2. Soit a et b deux réels distincts et strictement positifs ( a>0 ; b>0 ; a différent de b )
Démontrez que a/b + b/a >2

Exo2
Résolvez les inéquations suivantes :
1) x + (1/x) > 2
2) 2x/(x-3)
Merci d'avance et désolé pour certain signe que je n'arrive pas a faire avec mon ordi...

par **bombastus** » 16 Oct 2009, 12:51

Salut,

Démontrez que a/(a+1) < (a+1)/(a+2)
revient à démontrer que :
a/(a+1) - (a+1)/(a+2) < 0

donc tu mets tout au même dénominateur, et tu essaies de simplifier le numérateur.

par **Benoit56** » 16 Oct 2009, 13:45

ok
Si je me suis pas tromper, sa fait (a+3)/(a+2)(a+1) < 0 mais sa repond pas a la question si ?

par **mathelot** » 16 Oct 2009, 13:53

Benoit56 a écrit:ok
Si je me suis pas tromper, sa fait (a+3)/(a+2)(a+1) < 0 mais sa repond pas a la question si ?

ce n'est pas tout à fait exact.

on doit démontrer

(C)

car (C) équivaut (a même valeur de vérité)
que

concernant lexpression à gauche du signe < de l'inégalite (C),
réduis au même dénominateur:

par **Benoit56** » 16 Oct 2009, 14:17

je te remercie vraiment ce m'aider mais je comprend toujours pas ! désolé

par **mathelot** » 16 Oct 2009, 14:28

j'imagine que ça bloque à divers endroits

connais tu la notation
(a+1)(a+2) ?

par **Benoit56** » 16 Oct 2009, 14:51

oui je sais ! je suis en premiere quand meme ! mais je comprend pas comment demontrer une inégalité.

par **busard_des_roseaux** » 16 Oct 2009, 15:20

deuxième point:

a < b équivaut à a-b < 0

ça signifie que ces inéquations sont vraies toutes les deux ou fausses toutes les deux

on va travailler avec

a-b < 0

ça va jusqu'içi ?

par **Benoit56** » 16 Oct 2009, 15:35

ouai super et ensuite ...

par **mathelot** » 16 Oct 2009, 16:47

maintenant , il faut effectuer la soustraction suivante:

tu vois pourquoi ?

par **Benoit56** » 16 Oct 2009, 17:16

euh pourquoi ? je sais pas mais il faut bien faire quelque chose donc je suis ok. J'y avais penser aussi et ensuite...

par **mathelot** » 16 Oct 2009, 17:25

bon, on avance pas à pas...

Cette différence, écris la avec les mêmes dénominateurs.

le dénominateur commun est le produit des deux dénominateurs.

L'idée , c'est d'obtenir un seul quotient .

par **Benoit56** » 16 Oct 2009, 18:02

si je me suis pas trompez sa fait : a(a+2)-(a+1)^2 le tout sur (a+1)(a+2)

par **mathelot** » 16 Oct 2009, 18:07

Benoit56 a écrit:si je me suis pas trompez sa fait : a(a+2)-(a+1)^2 le tout sur (a+1)(a+2)

:++: :++:

maintenant, il s'agit de développer et réduire le numérateur

Concernant le 1er terme, on utilise la distributivité de la multiplication
sur la soustraction

Concernant le 2er terme, on remarque une identité

par **Benoit56** » 16 Oct 2009, 19:15

a²+2a - (a²+2ab+1) = a²+2a-a²-2a-1=-1 pour le numerateur !et...

par **mathelot** » 16 Oct 2009, 19:37

Le numérateur vaut -1. Il est strictement négatif.

Quel est le signe de a+1 ? de a+2 ? du quotient ?

conclue.

par **bombastus** » 16 Oct 2009, 19:39

Bien, donc on est passé de :
a/(a+1) < (a+1)/(a+2)
à
-1/(a+1)(a+2)<0

et si cette dernière inégalité est vraie quelque soit a, alors la première égalité est aussi toujours vrai.
Donc que peux-tu dire sur :
-1/(a+1)(a+2)<0
?

par **mathelot** » 16 Oct 2009, 19:56

par hypothèse, est strictement positif.

est-ce que a+1 pourrait être négatif ou nul ? non, personne (de sensé)
n'écrirait ça :we:

par **Benoit56** » 16 Oct 2009, 20:35

a+1>0
a+2>0
-1<0
donc le quotient est négatif puisque un nombre negatif divisé par un nombre positif donne un nombre negatif
Mais comment ecrire cette phrase en langage "maths" :hein: ?

par **bombastus** » 16 Oct 2009, 20:38

Comme tu l'as écrit, ça suffit.
ou
le quotient d'un nombre négatif par un nombre positif est un nombre négatif

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