Algèbre 2ndS, Inégalités

[Dionus]

J'ai ce problème là à résoudre pour vendredi mais je suis totalement bloqué j'aimerai bien qu'on m'aide à comprendre un peu. Le voici:
x et y sont deux nombres réels strictement positifs. Démontrer les inégalités suivantes:
a)x/y + y/x >2 ; b) si x

[Manny06]

J'ai ce problème là à résoudre pour vendredi mais je suis totalement bloqué j'aimerai bien qu'on m'aide à comprendre un peu. Le voici:
x et y sont deux nombres réels strictement positifs. Démontrer les inégalités suivantes:
a)x/y + y/x >2 ; b) si x<y alors racine carrée de xy<y.

pour le a) passe tout dans le 1° membre et réduis au même dénominateur

[maths-lycee fr]

pour le a) passe tout dans le 1° membre et réduis au même dénominateur

Bonjour,

L'indication précédente est partiellement correcte car on ne doit pas commencer par x/y+x/y>2...c'est ce qu'il faut prouver.

Par contre une méthode à connaître pour comparer deux expressions est d'étudier le signe de la différence.

Par exemple si A-B<0 cela signifie que A< B.

Ici on veut comparer x/y+y/x et 2 donc on peut calculer x/y+y/x-2 (il faut donc effectivement réduire au même dénominateur mais la rédaction est un peu différente de ce qui était proposé dans le message précédent)

2. Là c'est un peut différent car on sait que 0<x<y et on veut obtenir .

Ça commence par et ensuite a toi de voir par quoi on peut multiplier chacun des deux membres de cette inégalité pour arriver au résultat.

Rappel: on ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant chaque membre par un nombre réel strictement positif...

[Manny06]

Bonjour,

L'indication précédente est partiellement correcte car on ne doit pas commencer par x/y+x/y>2...c'est ce qu'il faut prouver.

Par contre une méthode à connaître pour comparer deux expressions est d'étudier le signe de la différence.

Par exemple si A-B<0 cela signifie que A< B.

Ici on veut comparer x/y+y/x et 2 donc on peut calculer x/y+y/x-2 (il faut donc effectivement réduire au même dénominateur mais la rédaction est un peu différente de ce qui était proposé dans le message précédent)

2. Là c'est un peut différent car on sait que 0<x<y et on veut obtenir .

Ça commence par et ensuite a toi de voir par quoi on peut multiplier chacun des deux membres de cette inégalité pour arriver au résultat.

Rappel: on ne change pas le sens d'une inégalité en multipliant chaque membre par un nombre réel strictement positif...

il était sous entendu qu'il s'agissait de montrer que la différence était strictement positive

[chan79]

J'ai ce problème là à résoudre pour vendredi mais je suis totalement bloqué j'aimerai bien qu'on m'aide à comprendre un peu. Le voici:
x et y sont deux nombres réels strictement positifs. Démontrer:
a)x/y + y/x >2

je pinaille mais on n'a pas forcément l'inégalité stricte
5/5 + 5/5=2

[maths-lycee fr]

il était sous entendu qu'il s'agissait de montrer que la différence était strictement positive

Pour ma part je l'avais bien compris mais méfiez vous quand même des "sous entendu" lorsque les élèves sont en difficultés, les choses paraissent toujours " évidentes" pour ceux qui les écrivent...
On pourrait faire la même critique sur bien des énoncés de contrôles donnés en classe...

[Dionus]

pour le a) c'est supérieur ou égal mais je ne sais pas comment l'écrire avec vos conseils j'en suis arrivé là (x²+y²-2)/xy;)0 mais je suis un peu bloqué mais pour le b ça va un peu mieux en gros je multiplie ;)x<;)y par ;)y et ça me donne ;)xymais pour la démonstration je ne sais pas comment formuler ça.

[maths-lycee fr]

[quote="Dionus"]pour le a) c'est supérieur ou égal mais je ne sais pas comment l'écrire avec vos conseils j'en suis arrivé là (x²+y²-2)/xy;)0 mais je suis un peu bloqué mais pour le b ça va un peu mieux en gros je multiplie x2 si x différent de y

[Dionus]

Bonjour,

Non il y a une erreur:



règle à utiliser pour les études de signe: il est toujours plus facile d'étudier le signe d'un produit que d'une somme en général


Penser ensuite aux identités remarquables pour factoriser (du coup si x=y) on a une différence nulle et donc x/y+y/x ).

On a x/y+y/x>2 si x différent de y

Cela conduit à l'identité remarquable (a-b)² ici (x-y)²=x²-2xy+y²/xy je pense bien mais pour le dénominateur je fais comment?

[Ellyana]

Bonsoir,

Cela conduit à l'identité remarquable (a-b)² ici (x-y)²=x²-2xy+y²/xy je pense bien mais pour le dénominateur je fais comment?

x²/xy + y²/xy - 2xy/xy = (x²+y²-2xy)/xy
Ca pourrait t'aider.

[maths-lycee fr]

Bonsoir,




x²/xy + y²/xy - 2xy/xy = (x²+y²-2xy)/xy
Ca pourrait t'aider.

dans l'énoncé on a x>0 et y>0 non..

donc (x²+y²-2xy)/xy est du même signe que son numérateur soit x^2+y^2-2xy (à factoriser comme indiqué précédemment...)

[Dionus]

Bonsoir,




x²/xy + y²/xy - 2xy/xy = (x²+y²-2xy)/xy
Ca pourrait t'aider.

Tu pourrais détailler d'avantagez s'il te plait? parce que je pense à multiplier par xy l'expression de façon à ce que ça se simplifie le dénominateur sauf que je pense que ça se fait seulement pour les systèmes non? :hein:

[maths-lycee fr]

Tu pourrais détailler d'avantagez s'il te plait? parce que je pense à multiplier par xy l'expression de façon à ce que ça se simplifie le dénominateur sauf que je pense que ça se fait seulement pour les systèmes non? :hein:

Non, l'idée est que si tu faisait un tableau de signes par exemple avec une ligne pour le numérateur et une pour le dénominateur, on aurait une ligne de + pour xy, cequi ne change rien au signe du quotient...

Cela signifie que pour connaître le signe de (x^2+y^2-2xy)/(xy) il faut juste connaître le signe de x^2+y^2-2xy

[Dionus]

Non, l'idée est que si tu faisait un tableau de signes par exemple avec une ligne pour le numérateur et une pour le dénominateur, on aurait une ligne de + pour xy, cequi ne change rien au signe du quotient...

Cela signifie que pour connaître le signe de (x^2+y^2-2xy)/(xy) il faut juste connaître le signe de x^2+y^2-2xy

x et positif donc l'expression aussi non?

[maths-lycee fr]

x et positif donc l'expression aussi non?

Non, tu as deux carrés mais aussi -2xy qui est négatif donc pour connaître le signe, il faut réussir à factoriser (identités remarquables, reprendre un des messages précédents)

[Dionus]

Non, tu as deux carrés mais aussi -2xy qui est négatif donc pour connaître le signe, il faut réussir à factoriser (identités remarquables, reprendre un des messages précédents)

su
la factorisation donne ça non? (x-y)² sachant que x et y strictement positifs

[maths-lycee fr]

su
la factorisation donne ça non? (x-y)² sachant que x et y strictement positifs

Oui effectivement et un carré est toujours positif donc (x-y)^2 >0 si x différent de y

Exercice à revoir compte tenu des difficultés pour étudier le signe.

[Dionus]

merci beaucoup vous pouvez fermez la discussion