Fraction continue

[nazirella]

Bonjour tout le monde.Je n'arrive pas à répondre à la question suivante.Si vous m'aidez,je serai ravi.merci d'avance.
Démontrer que,quel que soit le nombre de "niveaux",l'équation suivante admet toujours le même ensemble de solution.

[Anonyme]

Impossible à démontrer parce que c'est faux !

[Anonyme]

Erreur ! L'image est tellement mauvaise que le dernier signe, qui est + apparaît comme - sur mon écran...
Je rectifie donc, c'est vrai, s'il n'y a que des +

...et c'est pas difficile

[yos]

Bonjour.

1) Je crois qu'il manque un "1+" tout en bas dans la dernière fraction.
2) Si on pose f(x)=1/(1+x), l'équation s'écrit fofofo...of(x)=x et donc le problème est de montrer que les fonctions fofofofo...of ont toutes les mêmes points fixes (indépendamment du nombre de "f").
Si on se restreint à ]0,+oo[ pour simplifier, il doit y avoir une unique solution qui est (-1+racine(5))/2 pour f(x)=x. Il est clair qu'elle est solution de toutes les autres équations. Reste à argumenter le fait que ces équations n'ont pas plus d'une soluion.

[mathador]

Moi je gage que c'est vrai ! On peut toujours se ramener à l'équation (E) : x²=x+1 ; l'ensemble des solutions est donc le nombre d'or et son conjugué dans R, i.e. {}.
Reste à mettre en forme, mais moralement ça revient à multiplier par le démoninateur de la fraction juqu'à être ramené à (E).
Pour n=1 (c'est-à-dire x=1+1/x) il suffit de multiplier par x
Pour n=2 il faut multiplier par 1+1/x puis par x
etc ... Une récurrence sur n peut-être ...
Cordialement

[mathador]

Ah, je constate une différence de signe avec yos ... je crois que nous ne lisons pas la fraction de la même manière : pour moi il ne manque par de "1+" à la fin, et il faut poser f(x)=1+1/x.
Dans le même style, on a , qui donne le nombre d'or comme solution.
Amicalement

[Anonyme]

Supposons que , alors on peut remplacer x par et ça donne :



Les solutions de sont donc toutes des solutions de

Comme l'une et l'autre sont des équations du second degré, la réciproque s'ensuit.

Mais alors, puisque , on peut remplacer x par et ça donne :



et tout et tout...

[yos]

Oui j'ai mal vu, c'est f(x)=1+1/x, et sinon le raisonnement est le même.

[nazirella]

Bonjour et surtout merci à tous.
Vos réponses m'ont beaucoup aidé,ça fait plaisir. :we:
A bientot surement...