Fonctions ,symetrie

[Anonyme]

Bonjour

J'aimerais vous posez quelques question concernant deux problèmes

Problème 1

La courbe a pour équation dans le repère orthonormal .

1- Le graphique permet de conjecturer un axe de symétrie. Quelle est son équation ?
2- Démontrez votre conjecture

Le problème tel qu'il est pose est très facile , pas intéressant . Alors j'ai change la question :
Il faut trouver l'équation de l'axe de symétrie sans graphique donc sans conjecture. Est ce que cela est possible ?
J'ai essaye de résoudre en posant mais a la fin je trouve 0=0 :mur:

Probleme 2

A l'aide d'un grapheur , on a trace la représentation graphique de la fonction defini par


la aussi il s'agit comme le problème 1 de regarder le graphe , de conjecturer puis de vérifier la conjecture. La aussi j'aimerais résoudre le problème sans regarder le graphe ni poser de conjecture et je crois que j'y suis arrive :

la fonction est défini sur ]-infini , 0[ U ]0,4[ U ]4, +infini[
Donc elle est centre en 2 (comment démontrer cela ?)
Donc si elle admet un axe de symétrie il doit nécessairement être x=2
Après on vérifie que f(2+h)=f(2-h) ce qui est le cas ici.
On arrive au résultat que x=2 est axe de symétrie de f(x)
Tout ceci est correcte si j'arrive a démontré que ]-infini , 0[ U ]0,4[ U ]4, +infini[ est centre en 2 c'est vrai que c'est intuitif mais il faut le démontrer alors comment ?

Merci

[valentin.b]

Bonjour,
Ta condition, si ton axe de symétrie est x = t est :
Pour tout x tu doit avoir :
f(x+t) = f(t-x)
C'est dire qu'à gauche et à droite de t, f(x) prend les mêmes valeurs (d'ailleur si t=0 tu as une fonction paire).

[valentin.b]

Bonjour,
Ta condition, si ton axe de symétrie est x = t est :
Pour tout x tu doit avoir :
f(x+t) = f(t-x)
C'est dire qu'à gauche et à droite de t, f(x) prend les mêmes valeurs (d'ailleur si t=0 tu as une fonction paire).

Désolé je répète ce que tu dis en fait, mais du coup c'est bon ... ^^'

[valentin.b]

J'ai essaye de résoudre en posant mais a la fin je trouve 0=0 :mur:

Montre comment tu fais pour arriver à 0 = 0

[oscar]

Bonjour

1) L' axe de symétroe d'une parabole d' équation f(x) = ax² +bx +c

est donné par la formule x = -b/2a

[valentin.b]

Bonjour

1) L' axe de symétroe d'une parabole d' équation f(x) = ax² +bx +c

est donné par la formule x = -b/2a

Je croyais que le site ne donnait pas les réponses ... Et normalement, si tout se passe bien, il poura le retrouver tout seul ... Et pour le second exercice, même si c'est très similaire à un problème de parabole, c'est pas à priori évident

[oscar]

Exo 1
L' axe de symétrie peut se déterminer par la dérivée

Exo 2 => même méthode

NB: Je n' ai PAS donner de réponses

[valentin.b]

Comme pour lexo 1
l' axe de symétrie peut se détermine par la dérive'e puis f' (0)

Ex0 1 => f' (x) = 2x-2

Exo 2 => calculer ( 4/(x²-4x)' puis applliquer la régle

Il est en seconde ou il passe en première, je sais pas si il connait les dérivées.
Et puis on calcule pas f'(0), mais on résout f'(x) = 0

[Anonyme]

Je croyais que le site ne donnait pas les réponses ... Et normalement, si tout se passe bien, il poura le retrouver tout seul ... Et pour le second exercice, même si c'est très similaire à un problème de parabole, c'est pas à priori évident

Je ne cherche pas la reponse

Pour le Probleme 1 voila ce que j'ai fait

La fonction f(x) est défini sur R donc centre en tout point
Soit x=a l'équation de l'axe de symétrie de la courbe





donc h=0 ou a=1 h ne peut pas être 0 donc c'est a=1

Effectivement j'avais fait une faute de calcul on obtient pas 0=0 mais une réponse on peut aussi verifier ce qu'a dit oscar.

Donc le probleme 1 est résolu reste le problème 2 ou comment calculer le centre d'une union d'intervales

[valentin.b]

Soit x=a l'équation de l'axe de symétrie de la courbe





donc h=0 ou a=1 h ne peut pas être 0 donc c'est a=1

h ne peut pas être égal à 0. C'est préférable de trouver a tel que :
f(a+x) = f(a-x) pour tout x :
A(a+x)² + B(a+x) + C = A(a-x)² + B(a-x) + C
A[(a+x)² - (a-x)²] + B(a+x+x-a) = 0
A(a+x+a-x)(a+x-a+x) + 2xB = 0
4aAx + 2xB = 0 -> (4aA + 2B)x = 0

Et là comme tu sait que ça doit êtr vrai pour tout x, on a pas x = 0, mais l'autre facteur qui est nul :
4aA + 2B = 0 -> a = -B/2A

[valentin.b]

Pour le second, si tu connais une fonction f qui à la propriétée d'avoir un axe de symétrie par rapport à la droite d'équation x = a, elle vérifie :
f(x+a) = f(a-x)

Si on prend une fonction g telle que :
g(x) = Cte/f(x) (Cte = constante)
On a :
g(x+a) = Cte/f(x+a) = Cte/f(a-x) = g(a-x)
Donc :
g(x+a) = g(a-x) pour tout x,
Si tu vois où je veux en venir, c'est hyper simple

[Anonyme]

Oui c'est ce que j'avais remarque aussi
y-a t-il un rapport entre la solution d'un trinôme du second degrés ayant un discriminant nul et l'équation de l'axe de symétrie de la courbe ?

Et pour le Problème 2 ?

[valentin.b]

Oui c'est ce que j'avais remarque aussi
y-a t-il un rapport entre la solution d'un trinôme du second degrés ayant un discriminant nul et l'équation de l'axe de symétrie de la courbe ?

Et pour le Problème 2 ?

Et même plus, pour un trinôme de discriminant positif, -b/2a est la moyenne des solutions (là où le trinôme s'annule) :

[valentin.b]

Pour le second, si tu connais une fonction f qui à la propriétée d'avoir un axe de symétrie par rapport à la droite d'équation x = a, elle vérifie :
f(x+a) = f(a-x)

Si on prend une fonction g telle que :
g(x) = Cte/f(x) (Cte = constante)
On a :
g(x+a) = Cte/f(x+a) = Cte/f(a-x) = g(a-x)
Donc :
g(x+a) = g(a-x) pour tout x,
Si tu vois où je veux en venir, c'est hyper simple

Voilà pour le problème 2

[Anonyme]

Pour le second, si tu connais une fonction f qui à la propriétée d'avoir un axe de symétrie par rapport à la droite d'équation x = a, elle vérifie :
f(x+a) = f(a-x)

Si on prend une fonction g telle que :
g(x) = Cte/f(x) (Cte = constante)
On a :
g(x+a) = Cte/f(x+a) = Cte/f(a-x) = g(a-x)
Donc :
g(x+a) = g(a-x) pour tout x,
Si tu vois où je veux en venir, c'est hyper simple

c'est très simple et de ceci on peut déduire que si f(x) admet un axe de symétrie toute fonction g(x) tel que admet le même axe de symétrie que f(x).

On peut d'une autre façon dire que que si g(x) admet un axe de symetrie alors est le centre de la définition de g(x)
Ici cela revient a montrer que ]-infini , 0[ U ]0,4[ U ]4, +infini[ est centre en 2 . Comment démonter cela ?

[valentin.b]

c'est très simple et de ceci on peut déduire que si f(x) admet un axe de symétrie toute fonction g(x) tel que admet le même axe de symétrie que f(x).

On peut d'une autre façon dire que que si g(x) admet un axe de symetrie alors est le centre de la définition de g(x)
Ici cela revient a montrer que ]-infini , 0[ U ]0,4[ U ]4, +infini[ est centre en 2 . Comment démonter cela ?

C'est pas exactement là que je voulais en venir

[Anonyme]

Toi tu voulais en venir a ça non?

c'est très simple et de ceci on peut déduire que si f(x) admet un axe de symétrie toute fonction g(x) tel que admet le même axe de symétrie que f(x).

ce qui va suivre est une autre méthode qui n'a rien a voir avec ce que tu as propose

On peut d'une autre façon dire que que si g(x) admet un axe de symetrie alors est le centre de la définition de g(x)
Ici cela revient a montrer que ]-infini , 0[ U ]0,4[ U ]4, +infini[ est centre en 2 . Comment démonter cela ?

[valentin.b]

Je vois où tu veux en venir, mais ça ne correspond pas au cas général, tu ne peux pas dire ça pour toutes les fonctions, par exemple la fonction f :
f(x) = x²+ 2x + 1 a pour ensemble de définition R
Comme il n'y a pas de centre de R ... (En tout cas -1 n'en est pas un)

[Anonyme]

Oui mais quand la définition d'une fonction est centre en un point comme dans le problème 2 peut on affirmer que si la fonction admet un axe de symétrie son équation sera

[valentin.b]

On peut toujours dire que si f(x) admet comme axe de symétrie x = c, ce nombre doit se distinguer dans l'ensemble de définition de f(x). (ce qui ne me semble pas vrai).

Mais même, pour l'exemple que j'ai donné, aucun point de R ne se distingue. Ce dont tu parle est plus une astuce pour le repérer si il existe ...