Fonctions polynomes

[tybo77]

Bonjour tout le monde,

je seche encore (et pour toujours ? )

Determiner un polynome P de degré 3 (avec des x cubes ?) tel que pour tout reel x, P(x+1)-P(x) = (x-1)(x+1)
devellopper ?

En deduire en fonction de n la valeur de la somme : Sn = 1*3+2*4+3*5+ ... + (n-2)n

Calculer cette somme lorsque n = 100
je pense qu'il faut remplacer n par 100 (évident) mais bon

[aeon]

1) Un polynome de degré 3 peux s'écrire sous la forme
P(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d (oui avec des x cubes)

Il faut écrire puis développer P(x+1) - P(x), puis développer (x-1)(x+1) et enfin identifier membre à membre.

[tybo77]

(x+1)(ax3 + bx² + cx +d) = ax4 +bx3 +cx² +dx +ax3 +bx² +cx +d
=ax4 +bx3 + ax3 + cx² + bx² +dx +cx +d

en fait je dois prouver que

ax^4 + x^3(a+b) + x²(b+c) + x(d+c) +d = ax^4 + bx^3 + cx² +dx

ou
ax^4 + x^3(a+b) + x²(b+c) + x(d+c) +d - (ax^4 + bx^3 + cx² +dx
)=(x+1)(x-1)

[aeon]

Non, c'est pas ça.
Si P(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d, combien vaut P(x+1) ?

[tybo77]

P (x+1)= ax^4 + x^3(a+b) + x²(b+c) + x(d+c) +d

ou

a(x+1)^3 + b(x+1)² + c(x+1) + d

[tybo77]

Je remonte mon sujet au cas ou qqun pourrait m'aider

[anthonys]

P (x+1)= ax^4 + x^3(a+b) + x²(b+c) + x(d+c) +d pas bon

ou

a(x+1)^3 + b(x+1)² + c(x+1) + d ,ça c'est mieux

Du courage, maintenant il faut développer

[tybo77]

ca me donne
ax^3 + ax² + a2x² + a2x +ax +a +bx² +b2x +b +cx +c +d

[tybo77]

donc :
p(x+1)= ax^3 + 3ax² +3ax +a +bx² +2bx +b +cx +c +d
ensuite p(x+1)-p(x) = 3ax² +3ax +a +2bx +b +c
que faire ensuite ? svp

[anthonys]

ax^3 + ax² + a2x² + a2x +ax +a +bx² +b2x +b +cx +c +d

En rouge c'est pas bon!

Pour info:

[Mirmadan]

Tu dois avoir 3ax²+3ax+2bx+a+b+c=x²-1

[Mirmadan]

donc 3ax²+3ax+2bx+a+b+c=x²-1
3ax²+x(3a+2b)+a+b+c=x²-1

SSI a=1/3
3a+2b=0
c=-1

SSI a=1/3
b=-1/2
c=-1

Donc pour P(x)= ????? Je te laisse le faire !

[tybo77]

je ne comprend pas bien comment tu as trouvé les inconnues a,b et c

[Mirmadan]

Pense à la définition d'une égalité de deux polynômes. ;)
Deux polynômes de même degré sont égaux SSI.... ?

[tybo77]

Deux fonctions polynômes sont égales si et seulement si elles ont le même degré et si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

en fait j'ai
P(x) = 1/3x^3 + 1/2x² - x (+ 0)

[tybo77]

pour la question 2) quel est le rapport entre la somme et la premiere question (le polynome de 3ème degré) ?

[anthonys]

A quoi est égale P(x+1)-P(x) lorsque x=n-1?

[Mirmadan]

Deux fonctions polynômes sont égales si et seulement si elles ont le même degré et si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

en fait j'ai
P(x) = 1/3x^3 + 1/2x² - x (+ 0)

Voilà !

[tybo77]

j'ai un doute
on a
x² + 0x - 1= 3ax²+x(3a+2b)+a+b+c

a=1/3
b=-1/2
mais pourquoi on fait pas a+b+c=-1
c=-5/6

[tybo77]

1/3x^3 - 1/2x² -x ou -5/6x
1/3(n-1)^3 - 1/2(n-1)² - 5/6(n-1)