Fonction rationnelle

[Loris]

Bonjour, j'ai un exo a faire pour samedi et j'ai un petit probléme ^^

Je vous dis l'enoncé et vous expliquerez le probleme aprés
Donc,

f est la fonction rationnelle definie sur R - {2} par :
f(x)=x²-x / x-2

Cf est sa courbe représentative dans le repère (O ; i , j)

Objectif :

Trouver 3 réels a, b et c tels que, pour tout x de R - {2}
f(x)=ax + b + c/x-2

puis etudier la position de Cf par rapport à la droite d'équation y=ax + b


1) La forme à obtenir pour f(x) est assez differente de celle qui est donnée par la definition de f.
En effet, f(x) est donnée sous forme d'un quotien, ce qui n'est pas le cas pour ax + b + c/x-2
On peut alors transformer l'expression ax + b + c/x-2 en reduisant au même dénominateur afin d'obtenir un quotient.

a) Effectuez cette opération, puis reduisez le polynôme obtenu au numerateur.
b) Vérifiez que l'objectif revient à trouver trois réels a, b et c tels que pour tout x different de 2,
x²-x/x-2 = ax² + (b-2a)x + c - 2b / x-2

Jusque là, tout est okay, c'est ensuite que les choses se compliquent pour moi.

2) Les expréssions des dénominateurs sont les mêmes. Pour obtenir l'egalité souhaitée, il suffit donc que, pour tout x different de 2, x²-x=ax²+(b-2a)x+c-2b.
Or si les coeffs de deux polynômes sont egaux entre eux, ces polynômes sont égaux.

a) Ecrivez le système qui traduit l'égalité de ces coeffs.
b) Determinez alors a,b et c.

Et c'est là que j'comprends pas deja la question n° a).
Si vous pouviez m'aider a resoudre cette question j'arriverai peut etre a faire la b). Merci d'avance. :happy2:

[uztop]

Bonjour,

tout d'abord, ça serait bien de mettre toutes les parenthèses :
f(x)=x²-x / x-2 = (x²-x) / (x-2) ou même pour faire joli:

Bon sinon, on te demande tout simplement de tout mettre au même dénominateur (donc (x-2) ici) et ensuite de développer et réduire le polynôme du numérateur

[Florélianne]

Bonjour
tu as trois inconnues a b et c à déterminer , tu dois donc obtenir un système d'équations
Tu l'obtient en utilisant la propriétété qui dit que deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des puissances de x de même degré sont égaux.
donc tu marques que les coefficients de x² sont égaux, ça te donne une équation , de x une autre etc... reste plus qu'à résoudre
bonne soirée

[Loris]

Pour Uztop, merci mais j'avais reussi cette question et merci à toi Florélianne, j'pense avoir compris :id:
Bonne soirée :happy2: