Fonction dérivable en un point

[Verym]

Bonjour à tous ! :happy2:

Aujourd'hui, nous avons eu un exercice à faire en maths (nous sommes sur la chapitre "Continuité - Dérivation")

Nous avions la fonction définie sur [-1;1]

La question est formulée ainsi : "Étudiez la dérivabilité en 1 et en -1".
En classe, nous avons étudié la limite du taux d'accroissement.


En 1, on a une limite égale à 0, donc f est dérivable en 1
En -1, on a une limite de , donc f n'est pas dérivable en -1.

Jusque là, tout va bien, mais je vais vous expliquer le point que je n'ai pas compris, (en espérant que vous puissiez m'expliquer ^^) :

La dérivée de cette fonction est

Si on cherche les valeurs pour lesquelles f' n'est pas définie, on trouve :

Soit : ou

Donc 1 et -1 n'appartiennent pas à l'ensemble de définition de f', et donc f n'est pas dérivable en 1 ET en -1.

Je ne sais pas si je me suis trompée sur ce point, mais je n'ai vraiment pas compris ce qui clochait dans mon raisonnement (le premier, avec le taux d'accroissement étant celui fait en cours et le second, avec la dérivée, ayant été fait par moi dans mon coin) ^^ Pourquoi f est-elle dérivable en 1 ? :hein:

Merci d'avance à ceux qui m'aideront

[chan79]

est dérivable en tout point de ]-1,1[ et (dérivée d'un produit)

Pour la dérivabilité (à gauche) en 1, on utilise la limite du taux d'accroissement et on trouve 0.

[Verym]

est dérivable en tout point de ]-1,1[ et (dérivée d'un produit)

Pour la dérivabilité (à gauche) en 1, on utilise la limite du taux d'accroissement et on trouve 0.

Tout d'abord, merci d'avoir répondu

Mais je me demande tout de même comment il est possible alors que ma prof ait dit que la fonction était dérivable en 1 alors ? Puisque la dérivée n'est pas définie en 1 ?
L'ensemble de définition de la dérivée (f') ne correspond-t-il pas à l'ensemble de dérivabilité de la fonction de base (f) ?

[Ben314]

Le problème ici, au fond, c'est un problème de logique :

Ton cours sur les dérivées est remplis de formules du style :
Si u et v sont dérivables sur le même intervalle I alors uv est dérivable sur I et on a (uv)'=u'v+uv'.

En particulier, c'est cette règle là que tu as employé pour dériver ta fonction f dans le cas "général", c'est a dire dans le cas où x est dans ]-1,1[.
Sauf qu'il faut bien comprendre que le "si... alors...", il dit... ce qu'il dit et rien de plus.
En particulier, il ne dit pas que, pour que le produit uv soit dérivable, il faut que u et v le soient (il dit qu'il suffit qu'elle le soit).

Donc ici, lorsque tu applique ce résultat pour calculer f' (dans le cas où x est dans ]-1,1[), tout ce que tu sait, c'est que ta fonction f va, au moins, être dérivable sur ]-1,1[, ce qui signifie qu'elle est éventuellement dérivable sur plus que cet ensemble là.
Et la seule façon de savoir si elle est effectivement dérivable (ou pas) sur les deux réels qui ont "échappés" a la formule générale, c'est de calculer la limite du taux d'accroissement.

Et après calculs (que tu as fait), tu peut conclure que la fonction f est en fait dérivable sur ]-1,1] fermé en 1 et que

[Verym]

Aaaah je comprends mieux ! ^^ Merci beaucoup en tout cas de votre aide :)