Fonction continue et derivabilité

[toto_tom]

Pour la continuité, j'aurais étudié la limite de f en 0 en remplaçant x par 0 et tu trouves 0 normalement.

[rene38]

Bonjour

Une fonction est continue (resp. dérivable) sur son domaine de définition si elle est continue (resp. dérivable) en tout point de ce domaine de définition.

Le seul point épineux pour ta fonction est 0.
Il suffit donc d'étudier la continuité et la derivabilité de f en 0.

[toto_tom]

On sait que la fonction cos est dérivable en 0, donc la limite du taux de variation sera égale à f'(a), soit -sin0, donc 0.

[rene38]

N'est-il pas évident que pour un a donné, différent de 0,
la limite de f(x) = (cosx²-1)/x lorsque x tend vers a est f(a) = (cosa²-1)/a ?
Alors que si a= 0 ... forme indéterminée ... pas évident.

[toto_tom]

Chloé

x est différent de 0, donc par quotient de fonctions continues, f est continue partout sauf sur 0.

[toto_tom]

cosx²-1/x = (cosx-1)(cosx+1)/x mais après je pense qu'il faut s'aider de la dérivabilité de la fonction cosinus non?

[rene38]

cosx²-1/x = (cosx-1)(cosx+1)/x

On parle de
ou bien de

parce-que dans le second cas,

[toto_tom]

En fait le prof ne précise pas, il n'a pas mis de parenthèses donc je pense que c'est cos (x²)-1, sinon il aurait mis des parenthèses pour préciser.

Donc ça voudrait dire que la limite à étudier serait celle de

-sin²x / x.

Il faut utiliser la formule sinx / x non?

[toto_tom]

En fait je ne sais pas, je vais envoyer un mail au prof.

[toto_tom]

Alors je pense que c'est (cos x²)-1.

Sinon le prof aurait mis des parenthèses.
Donc c'est (cosx-1)(cosx+1).

[rene38]

Alors je pense que c'est (cos x²)-1. <-la parenthèse ne sert à rien

mais il faut décider entre cos(x²) et [cos(x)]² qui s'écrit cos²(x)

Sinon le prof aurait mis des parenthèses.

[toto_tom]

Je pense que c'est cos(x²) sinon il aurait mis des parenthèses si c'était l'autre solution avec le carré en exposant.

Donc ce que j'ai dit est faux alors non?

Ca fait -sin²x/1, ce que vous avez dit précedemment.

[toto_tom]

Donc calculer la limite de f(x) en 0 revient à calculer la limite de

-sin²x / x.

Le carré est gênant, il empêche de se ramener à une limite connue. Je pense qu'il faut l'enlever. Faut-il faire un changement de variable?
Ou alors mettre une fonction f qui à x associerait sin²x pour voir un taux d'accroissement qui donnerait f(x)-f(0)/x-0 ?
Et comme la fonction sinus est dérivable on 0, la limite du taux d'accroissement donnerait sin'(0)?

[toto_tom]

Est-ce comme ça qu'il faut procéder?

[toto_tom]

En fait c'est pas du tout ce que je viens de dire.
Quelqu'un m'a dit que je pouvais dire ça :

cos x²-1/x = x^3 x cos(x²)-1/ (x²)²

or lim quand y tend vers 0 de 1-cosy/y² est 1/2 donc la limite de f donnera

0 x -1/2 soit 0 donc f(0) et f est continue.

Qu'en pensez-vous René?

Le seul problème c'est que je n'ai jamais appris cette limite en cours.