Salut,
Cas général :
f(x) = x^4 + a.x³ + b.x² + a.x + 1
x n'est pas racine et donc les solutions de f(x) = 0 sont les mêmes que celles de : x² + a.x + b + a/x + 1/x² = 0
x² + a.x + b + a/x + 1/x² = 0
x² + 1/x² + a.(x + 1/x) + b = 0 (1)
Poser t = x + 1/x
t² = x² + 1/x² + 2
(1) --> t² - 2 + a.t + b = 0
t² + at + b-2 = 0
Delta = a² - 4(b-2) = a² - 4b + 8 (Delta 1)
Si Delta1 = a² - 4b + 8 >= 0, alors t1 = [-a - V(a² - 4b + 8)]/2 et t2 = [-a + V(a² - 4b + 8)]/2
x + 1/x = t1, soit x² - t1.x + 1 = 0
et
x + 1/x = t2, soit x² - t2.x + 1 = 0
f(x) = (x² - t1.x + 1)*(x² - t2.x + 1) (avec t1 et t2 réels) et donc (1) est réalisé.
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Cas particulier où a = 0 :
t² + b-2 = 0
Si Delta = - 4b + 8 >= 0 (donc b >= 2), alors t1 = -V(b-2) et t2 = V(b+2)
x+1/x = -V(b-2)
x² + V(b-2).x+1 = 0
x+1/x = V(b-2)
x² - V(b-2).x+1 = 0
f(x) = x^4 + b.x² + 1 = (x² + V(b-2).x + 1).(x² - V(b-2).x + 1)
et donc (1) est réalisé.
Si Delta = - 4b + 8 < 0 (donc b < 2), alors t est complexe, alors ...
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Si Delta = a² - 4b + 8 < 0, alors t1 = [-a - i.V(-a² + 4b - 8)]/2 et t2 = [-a + i.V(-a² + 4b - 8)]/2
...
