(non résolu) factorisation d'un polynôme

[kikou25]

BONSOIR alors voila j'ai un gros probleme sur un exercice que je n'arrive pas à résoudre du fait que je ne le comprend pas tres bien c'est pourquoi je vous demande de l'aide MERCI

1 Soit alpha un réel et P un polynôme de degré n. Démontrer que si pour tout réel x : P(x) = (x - alpha)Q(x) où Q est un polynôme alors alpha est une racine de P .

2 On se propose d'établir la réciproque.
a) Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Démontrer que pour tout réels x et y on a:
(x-y)(x^p-1 + yx^p-2 +...+y^p-2 x + +y^p-1)= x^p - y^p .
b) On considère la forme réduite de P(x)= a indice n x^n + a indice n-1 x^n-1+...+a indice 0 et on suppose que alpha est une racine de P.
b1)Ecrire l'égalité vérifié par alpha.
b2) Calculer P(x) - P(alpha)
b3) Montrer que(x-alpha)est un facteur commun dans l'écriture de P(x) - P(alpha) .
c) En déduire que P(x) est factorisable par (x-alpha). Dans ce cas on dit que P(x) est divisible par (x-alpha).
d) On peut alors écrire P(x) comme le produit de (x-alpha) et d'un polynôme Q(x). Que peut-on dire sur le degré du polynôme Q ?

VOILA MERCI A TOUS CEUX QUI VONT M'AIDER !!!!!!

[kikou25]

Pourriez-vous m'aider je sais que c'est difficile c'est pourquoi je demande un coup de main !! :triste: :hum:

[freud]

et tu bloques où?

[kikou25]

j'arrive pas à commencé !!! :briques:
svp vous pouvez m'aider ? :hein: :hein: :hein:

[freud]

déjà le premièrement faut juste écrire que P(alpha)=(alpha-alpha)*Q(alpha)=0....donc alpha est bien une racine de P

[kikou25]

je ne comprend pas trés bien parce que après kan je remplace par alpha comment je fais avec Q(alpha) ????

[freud]

tu as Q(alpha)*(alpha-alpha) et donc sa te donnes un nombre Q(alpha)*0=0
là t'as comprit? Q(alpha) c'est un nombre réel puisque le polynome est une aplication de R dans R donc on sait que l'image par Q de alpha qui appartient à ]-l'infini,+l'infini[ sera un nombre réel.
Et si tu notes x se nombre réel tu as x*0=0

[kikou25]

j'ai compris jusqu'à la !!
en tout cas MERCI de perdre ton temps pour moi !!

[freud]

x c'est Q(alpha), pour le temp c'est pas grave demain il y a encore la gr^ve des transport donc pas cour

[kikou25]

ok :ptdr: :ptdr: lol

[kikou25]

pourrait - tu m'aider à faire la suite stp !! :happy2:

[kikou25]

un pti coup de pouce svp !!

[kikou25]

un pti coup de main svp !!
:hum: :briques: :hum: :hum:

[xyz1975]

Bonsoir
Pour la question :
(x-y)(x^p-1 + yx^p-2 +...+y^p-2 x + +y^p-1)= x^p - y^p .
Il suffit de developper le membre gauche. faites le et répondez moi.

[kikou25]

OK !! merci de me répondre !!

[kikou25]

est-ce que si j'ai :

x * x^p-1 = x²^p-1????

[xyz1975]

Il faut additionner les puissances donc x.x^(p-1)=x^p.
je suis avec vous jusqu'à ce que vous finissiez l'exo.

[kikou25]

MERCI c'est très gentil de votre part j'espere que je pourrait vous aidez un jour !! :++: :++:

alors sa me fait :

x^p + yx^p + y^p x + y^p-1 x - y^p-1 x - yx^p - y^p x -y^p
= x^p - y^p

uééé jai trouvé le bon résultat !!

[xyz1975]

Très bien , il faut juste rajouter des points :
x^p + yx^p + y^p x + y^p-1 x+....... - y^p-1 x - yx^p - y^p x -y^p
= x^p - y^p

[xyz1975]

Et le reste est ce que c'est bon?