Exo nombre complexe niveau 5

[sousou33]

bjr
Quelle est la somme des diviseurs propres de 2^n (2^{n+1}-1)
je pensait a 2^n mais ca ne marche pas
merci de votre aide

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

On va supposer que 2^{n+1} - 1 est premier, sans quoi l'exo serait un peu bizarre.
Quels sont les diviseurs de 2^n ? Quels sont les diviseurs de 2^{n+1} - 1 ?
Peux-tu en déduire l'ensemble des diviseurs de 2^n(2^{n+1} - 1) ?

[sousou33]

Les diviseurs de 2^n sont :
2^0 , 2^1 , 2^2 , ... 2^n
Les diviseurs de 2^{n+1} - 1 sont :
1 , 3 , 7 , ...

[sousou33]

et oui 2^{n+1} - 1 est premier j'ai oubier de le préciser

[Kikoo <3 Bieber]

Les diviseurs de 2^n sont :
2^0 , 2^1 , 2^2 , ... 2^n
Les diviseurs de 2^{n+1} - 1 sont :
1 , 3 , 7 , ...

Non, si 2^{n+1} - 1 est premier, on ne peut pas trouver d'autres diviseurs que lui-même et 1 !

[sousou33]

Donc cela signifie que les diviseur de 2^n (2^{n+1}-1) sont
1 , 2 , 2^2 , ... 2^n , 2^{n+1}-1 ?

[Kikoo <3 Bieber]

Non.

D'abord, il faut considérer les diviseurs de 2^n, puis les diviseurs de 2^{n+1}-1 puis du produit de ces deux nombres !

[sousou33]

Les diviseurs de 2^n sont :
2^0 , 2^1 , 2^2 , ... 2^n
Les diviseurs de 2^{n+1} - 1 sont :
(2^{n+1} - 1) , 2(2^{n+1} - 1) , 2^2(2^{n+1} - 1) , ... , 2^n(2^{n+1} - 1) ?

[Kikoo <3 Bieber]

Les diviseurs de 2^{n+1} - 1 sont :
(2^{n+1} - 1) , 2(2^{n+1} - 1) , 2^2(2^{n+1} - 1) , ... , 2^n(2^{n+1} - 1) ?

Je le répète, 2^{n+1} - 1 est premier. Cela signifie qu'il n'a pas d'autre diviseurs que lui-même et 1 !
Donc ?

[sousou33]

ah oui il est divisible par 1 et 2^{n+1} - 1

les diviseur de 2^n (2^{n+1}-1) sont
2^0 , 2^1 , 2^2 , ... 2^n , 2^{n+1} - 1 , 2(2^{n+1} - 1) , 2^2(2^{n+1} - 1) , ... , 2^n(2^{n+1} - 1)

[Kikoo <3 Bieber]

ah oui il est divisible par 1 et 2^{n+1} - 1

les diviseur de 2^n (2^{n+1}-1) sont
2^0 , 2^1 , 2^2 , ... 2^n , 2^{n+1} - 1 , 2(2^{n+1} - 1) , 2^2(2^{n+1} - 1) , ... , 2^n(2^{n+1} - 1)

Voilà Je pense bien que le compte est bon.

[sousou33]

Merci beaucoup
Et comment prouver que 2^n *(2^{n+1}-1) est parfait sachant 2^{n+1} - 1 est premier ?

[Kikoo <3 Bieber]

Euh ben tu calcules la somme de ses diviseurs.

[sousou33]

donc je fait 2^0+2^1+2^2+...+(2^{n+1} - 1)+ 2(2^{n+1} - 1) + 2^2(2^{n+1} - 1) + ... + 2^n(2^{n+1} - 1)
C'est impossible a calculer ca ^^'

[Kikoo <3 Bieber]

Désolé je me suis trompé !

En fait, les diviseurs de autres que lui-même sont :



Du coup, on a

Je te laisse mener le calcul, tu dois tomber sur , c'est-à-dire l'entier de départ !

PS : il n'est pas sur les complexes cet exo, c'est de l'arithmétique !

[sousou33]

Je n'arrive pas a retomber sur le resultat qu'on doit obtenir

[Kikoo <3 Bieber]

Ah bon ? Et pourtant il ne reste presque plus rien...

Que vaut la somme géométrique ?

[sousou33]

beh ca vaut 1

[Kikoo <3 Bieber]

Ah oui, quand même :D

[sousou33]

nan ce n'est pas ca ?