Exercices sur les suites ! =)

[M2aa]

Bonjour à tous, je suis en première scientifique et j'ai un exercice à réaliser pour la semaine prochaine au sujet des suites, seulement ayant été absente pendant les leçons sur les suites, je n'arrive pas à réaliser cet exercice !

Voici l'énoncé :

Soit la suite (Un) définie par Uo=1 et Un+1= 2Un / (2+3Un)
Nous admettons que pour tout n appartenant à |N, Un>0.

Partie A :
Soit f la fonction définie sur [0; +oo [ par : f(x)= 2x / (2+3x)
On note Cf sa courbe représentative.

1.Justifier que la fonction f est associée à la suite Un

2.Représentez graphiquement, les quatre premiers termes de la suite (Un), puis donner une valeur approchée de chacun de ces termes.

J'ai calculé U1, U2 et U3, j'ai trouvé respectivement, U1 =2/5 U2= ¼ et U3= 2/11
Est-ce juste ? Je ne sais pas s'il fallait déjà les calculer car on me le redemande dans la seconde partie, mais je ne sais pas de quelle autre façon j'aurais pu faire ! Je ne sais pas comment placer ces quatre termes sur le graphique pourriez vous m'expliquer s'il vous plait ?

3. Conjecturer le sens de variation de la suite Un, puis sa convergence.
Pour le sens de variation j'ai fait : On constate que U1>U2>U3 => Un+1< Un => donc la suite Un est décroissante, est ce la bonne façon ?

Partie B :
1.a Calculer u1, u2 et u3
Je l'ai déjà fait au dessus

b La suite (Un) est-elle arithmétique ? Géométrique ?
Je pense qu'elle est géométrique mais je ne sais pas comment le prouver, je ne sais pas comment trouver la raison q

2.Déterminer le sens de variation de la suite (Un)
Pour étudier les variations de Un, on étudie le signe de Un+1-Un
2Un/(2+3Un)-Un = -Un/
Un>0=>Un<0 et 2>0 -Un/2<0 donc la suite est décroissante
Correct ?
3.On pose pour tout entier n, Un= 1+2/Un
a. Calculer U0, u1, et u2. Quelle semble être la nature de la suite ?
Vn= 1+2/Un
V0=1
V1=3
V2=2
Je pense que la suite est également géométrique mais encore une fois je ne sais pas comment le démontrer
b. Démontrer cette conjecture.
Idem
4. Exprimer Un en fonction de n. En déduire l'expression de (Un) en fonction de n.
5. Déterminer Lim Un
n-> +oo
Je n'ai pas fait les dernières questions ne sachant pas si mes résultats sont corrects !
Voilà, je vous remercie par avance pour votre aide !
Au revoir,

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Tu arrives quand même à faire le début ou alors il te manque vraiment tout sur les suites ?

[Inari]

Coucou. :)

J'vais essayer de t'éclairer un p'tit peu.

Partie A :

1) Le lien entre la fonction f et la suite U(n), tu dois le voir facile en faisant f(Un).

2) Calculer et représenter les valeurs comme tu as fait. Pour le graphe, bah U(1)=2/5, ça te fait un point de coordonnées (1,2/5) et ainsi de suite (U(n)=a, c'est représenté par a en ordonnée pour n en abscisse).

3) Conjecturer, ça veut dire supposer à partir de tes premières valeurs, donc ce que tu as fait es correct, à partir des premières valeurs tu imagines que la suite décroît. Attention quand même "U(1) U(n)
Partie B :

1)a) Ok.

1)b) Si elle était géométrique, tu pourrais écrire U(n+1)= q * U(n). Tu penses que c'est le cas ?

2) Oui on fait bien U(n+1)-U(n) mais ton calcul est un peu raté j'ai l'impression. Ecris 2Un/(2+3Un) - Un, mets au même dénominateur pour faire la différence, t'auras un numérateur négatif et un dénominateur positif (car U(n)>0 pour tout n) donc tu pourras conclure.

3)a) A mon avis tu fais des bourdes de calcul à vérifier (déjà ton énoncé est pas très bien recopié entre les U et les V). Si Vn=1+2/Un, V0=1+2/U0=1+2/1=3 donc ça semble pas coller avec ton résultat. Ensuite, pareil, si tu penses qu'elle est géométrique, essaye d'écrire V(n+1) en fonction de V(n). A mon avis, c'est pas le cas. Petit rappel : Une suite géométrique est monotone, donc si tu avais des valeurs comme 1 puis 3 puis 2, tu pourrais d'office dire qu'elle n'est pas géométrique. Ceci dit, ces valeurs sont fausses.

Essaye de reprendre ça avant de penser à la fin de l'exo. :)

Bon courage !

[M2aa]

Bah en fait j'ai mis les réponses que j'ai essayé de trouvé et après vous m'auriez aidé pour trouver mes erreurs, et vous m'auriez expliquer les choses que je ne comprenais pas :)

Merci Inari pour ta réponse !
Donc pour la première partie il ne me manque plus que la convergence, mais j'étudie les limites qu'à +oo ou aussi -oo ? J'ai fait pour +oo, mais comme c'est un quotient je trouve une forme indéterminée, et je ne parviens pas à trouver une autre solution.
Pour la partie B
2. Pour le sens de variation j'ai fait une erreur, en fait j'ai trouvé -Un/2.

Pour le reste je vais essayé de continuer

[M2aa]

Partie B
Pour la 3.a) En fait j'ai confondu Vn et Un !
Donc mes résultats sont Vo=3
V1=6
V2=9

b.Donc la suite semble être une suite arithmétique de raison r=3.

[Arnaud-29-31]

Lorsque l'on étudie une suite, n est un entier naturel (donc toujours supérieur ou égal a zero) quand on parle de limite c'est donc en (pas de )

Et attention, c'est n qui tend vers et tu as , tu ne peux pas déterminer la limite grâce à cette expression.

Il faut expliciter clairement en fonction de n (ce qui est possible un fois avoir déterminé si la suite en arithmétique on géométrique et avoir trouver sa raison).
On te demande ici uniquement de conjecturer que la suite convergence.

Comme tu l'as fais remarqué, le calcul de est demandé en partie B donc il ne fallait effectivement peut-être pas les calculer pour les placer graphiquement.
Il valait mieux les placer en utilisant la fonction associé f, car ceci permet de bien visualiser (et de conjecturer) la convergence de la suite.

Sais-tu représenter graphiquement une suite grâce à sa fonction associée ?

[M2aa]

Le seul problème c'est que je ne sais pas comment déterminer si la suite est arithmétique ou géométrique.

[Teacher]

Ouvre les yeux avant d'ouvrir ton cours !

[Arnaud-29-31]

Et bien déjà tu peux essayer de plus ou moins le deviner grâce au calcul des premier termes.

En effet, si tu trouves un nombre q tel que , alors il y a de grandes chances pour que cette suite soit géométrique.

De même, si tu trouves un nombre r tel que , alors il y a de grandes chances pour que cette suite soit arithmétique.

Alors a ton avis, géométrique ? arithmétique ?

[M2aa]

Je sais lire mon cours, désolée d'avoir du mal ! J'essaye au moins, je demande de l'aide pas des réponses !

J'ai essayé avec les définitions des différentes suites !
Seulement pour une suite arithmétique je trouve comme raison r=2/5 et pour la suite géométrique je trouve comme raison q=-3/5 et aucune ne colle quand j'essaye de trouver U2.

[M2aa]

J'ai inversé, j'ai trouvé r= -3/5 et q=2/5
Ca ne change rien je ne trouve pas U2 avec ces deux raisons

[Arnaud-29-31]

Et oui ... (mise à part le fait que c'est le contraire, r = -3/5 si elle est arithmétique et q = 2/5 si elle est géométrique, ceci en regardant uniquement u0 et u1)


Pour montrer que qqch est vrai, il faut le montrer pour tout n, donc prendre les premiers termes ne suffit pas ...


En revanche, pour montrer que qqch est faux, il suffi d'un seul contre exemple ! Prendre les premiers termes suffit donc :

-On a u1 = u0 - 3/5 donc si la suite est arithmétique, la raison c'est - 3/5 ... mais si je fais u1 - 3/5 je tombe pas sur u2, donc ca s'arrête la : elle n'est pas arithmétique.
(A noter qu'une suite arithmétique, de raison non nulle ne peut pas converger, et vu que tu as conjecturé que nn convergeait, elle ne pouvait pas être arithmétique ...)

- On a u1 = (2/5)*u0 donc si la suite est géométrique, la raison c'est 2/5 ... mais si je fais (2/5)*u1 je tombe pas sur u2, donc ca s'arrête la : elle n'est pas géométrique.

La suite est effectivement ni arithmétique ni géométrique, c'est pourquoi on introduit ensuite une suite Vn, qui elle sera arithmétique ou géométrique et que tu pourra donc exprimer facilement.
Une fois Vn exprimé, tu pourra exprimer Un puisqu'elles sont étroitement liées.

[M2aa]

Donc je ne peux pas conjecturer sa convergence vu qu'elle n'est ni arithmétique, ni géométrique ?

[Arnaud-29-31]

Comme tu l'as fais remarqué, le calcul de est demandé en partie B donc il ne fallait effectivement peut-être pas les calculer pour les placer graphiquement.
Il valait mieux les placer en utilisant la fonction associé f, car ceci permet de bien visualiser (et de conjecturer) la convergence de la suite.

Sais-tu représenter graphiquement une suite grâce à sa fonction associée ?

En traçant f et en s'en servant pour placer les premiers point on peut conjecturer la convergence ...

Conjecturer c'est observer, deviner un résultat ...
Si tu montre qu'une suite est arithmétique ou géométrique, la on n'est plus dans la conjecture, on arrive a la démonstration.

[M2aa]

Idée : Tu choisis un repère orthonormé ( unité de longueur "grande" )

Tu traces la représentation graphique de la fonction f ( pour x > 0)

Tu traces la droite (D) d'équation y=x ( qui est donc bissectrice )

Tu places U0 sur l'axe des abscisses et tu déduis U1=f(U0)
Avec (D) , tu reportes U1 sur l'axe des abscisses et tu déduis U2=f(U1)
Avec (D) , tu reportes U2 sur l'axe des abscisses et tu déduis U3=f(U2)
Avec (D) , tu reportes U3 sur l'axe des abscisses et tu déduis U4=f(U3)
Tu lis les valeurs approchées de U1 , U2 , U3 et tu imagines les valeurs suivantes.

C'est ça qu'il faut faire ! Je vais essayé sur la graphique que mon prof m'a donné !
Seulement sur son graphique il a indiqué sur l'axe des abscisses une valeur qui est 0.5 mais il n'y a rien sur l'axe des ordonnées donc je suppose que c'est la même chose non ?

[M2aa]

Je vais refaire le graphique plutôt ! =)

[Arnaud-29-31]

Voila, c'est ça qu'il faut faire ... Et comme ça tu vois que la suite converge vers un point.
Mais vu que c'est un dessin, ca ne constitue en rien une démonstration, c'est pourquoi on emploi le terme "conjecturer" : on devine qu'elle converge mais on ne l'a pas encore démontré.

[M2aa]

U1 est l'image de f(Uo) donc U1 se trouve sur la courbe c'est ça ?

[M2aa]

Non c'est bon je me suis trompée, donc pour la question de la première partie je ne donne aucune valeur, je les calculerai dans la seconde partie.
Ca converge vers 0 ?

[Teacher]

Partie B:
b La suite (Un) est-elle arithmétique ? Géométrique ?
C'est la question rhétorique du programme ce sera toujours la même réponse elle n'est ni arithmétique ni géométrique !