Exercices sur les suites

[Narayden]

Bonjour,
Je dois effectuer un devoir maison sur les suites (pour information je suis en TES) et il y'a un des exercices où je bloque sur certaines questions et j'aimerais de l'aide (commentée si possible qui me permet de comprendre la résolution de ce problème). Et il y'a quelques questions que j'ai faite (du moins partiellement) dont j'aimerais que vous corrigiez d'éventuelles erreurs.

Voici l'énoncé :
"Le service commercial d'un journal a constaté que, chaque année, il enregistre 1000 nouveaux abonnés, mais qu'environ 50% des abonnements précédents ne sont pas renouvelés.
L'objet de cet exercice est d'étudier l'évolution du nombre d'abonnements si cette situation perdure, sachant qu'au cours de l'année écoulée, le journal comptait 4000 abonnés.
Soit la suite (Un) définie par Uo=4000 et, pour tout entier n, Un+1 = 0.5Un + 1000."

Voici les questions :

1) Expliquer pourquoi Un est une approximation du nombre d'abonnés au bout de n années.

2) On a représenté ci-contre les premiers termes de la suite (Un). Quels semblent être le sens de variation et la limite de la suite (Un) ?

3) Pour tout entier n, on pose: Vn = Un - 2000. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0.5. Préciser la valeur Vo. En déduire l'expression de Vn en fonction de n.
Justifier que, pour tout entier n: Un = 2000 + 2000 * 0.5^n.

4) a - Montrer que pour tout entier n :
Un+1 - Un = -1000 * 0.5^n

b - En déduire le sens de variation de la suite (Un). Interpréter le résultat.

5) Quelle est la limite de la suite (Un) ? Donner une interprétation de cette limite.

Pour la première question, voici ce que j'ai répondu :
Soit un le nombre d'abonnés au bout de n années :
;) le journal comptait 4000 abonnés : on pose U0 = 4000
;) pour calculer le nombre d'abonnés au bout de (n+1) années, on tient compte des suppositions
suivantes :
;) 50% des abonnements précédents ne sont pas renouvelés d'où on a 0,5Un
;) on enregistre, chaque année, 1 000 nouveaux abonnés donc + 1000
on en déduit que : un+1 = 0,5Un+1000

Pour la deuxième question :
On observe sur le graphique les points decroient puis deviennent si on les relie, parallèles à l'axe des abscisses en point d'ordonnée 2000. (nombre d'abonnés en ordonnée et années en abscisses). Pour la limite j'ai dis qu'elle tend vers 2000 mais le graphique vous ne le voyez pas.

Pour les autres questions, je bloque vraiment si une personne expérimentée en mathématiques pourrait m'aider à répondre aux autres questions en commentant les étapes de son calcul, de son raisonnement ce serait sympa.

Je vous remercie d'avance pour votre aide

[mathelot]

bonjour,

il y a une infinité de suites qui vérifient une relation



parmi ces suites, celle constante , égale à 2000 , marche.

on a donc



En soustrayant, la suite est géométrique de raison 0,5.

Que peut on en déduire ?