Exercice sur les suites adjacentes T°S

[homosapiens]

Coucou, je suis complètement plantée sur un exo...
Voici l'énoncé, dès la première question, je coince...

C est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=x^3 dasn un repère orthonormal. On note S l'aire ( en unités d'aire) du domaine D délimité par la courbe C, l'axe des abcsisses et la droite d'équation x=1.

On divise l'intervalle [0;1]à l'aide des nombres a(i)=i/n avec i compris entre 0 et n

Sur [a(1);a(i+1)] (avec i compris entre 0 et n-1 ), on construit le rectangle de de hauteur f( a(i) ); et le rectangle de hauteur f( a(i+1) ).

On note A(n), la somme des aires des rectangles dans D et on note B(n) la somme des aires des rectangles qui contiennent D

a) Vérifier que pour tout entier naturel n tel que 1 =< n:
A(n)<S<B(n),avec A(n) = (1/n^4)[1^3 + 2^3 + ... +(n-1)^3]
et B(n)= (1/n^4)[1^3 + 2^3 + ... + n^3]

b) On admet ensuite que 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = [n(n+1)/ 2]²
En déduire les expressions de A(n) et B(n) en fonction de n

c) Démontrer que les suites A(n) et B(n) sont adjacentes

d) Determiner la valeur de S

:mur: :mur: :mur:

Merci de votre aide

[armor92]

Bonjour,

Les rectangles situés dans D, sont les rectangles de base [a(i);a(i+1)] et de hauteur f(a(i)), en effet f etant une fonction croissante f(a(i)) <= f(x) pour tout x compris dans [a(i);a(i+1)]
A(n) est la somme des rectangles de base [a(i);a(i+1)] et de hauteur f(a(i))(avec i compris entre 0 et n-1 ),

Les rectangles qui contiennent D, sont les rectangles de base [a(i);a(i+1)] et de hauteur f(a(i+1)), en effet f etant une fonction croissante f(a(i+1)) >= f(x) pour tout x compris dans [a(i);a(i+1)]
B(n) est la somme des rectangles de base [a(i);a(i+1)] et de hauteur f(a(i+1))(avec i compris entre 0 et n-1 ),

a) L'aire du domaine D est supérieur à l'aire des rectangles contenus dans D
A(n) < S. De même l'aire du domaine D est inférieure à l'aire des rectangles qui contiennent D : S < B(n)

A(n) = Somme [(a(i+1) - a(i)) * f(a(i)] i variant de 0 à n-1
A(n) = 1/n *(0 + (1/n)^3 + (2/n)^3 + .... + ((n-1)/n)^3)
A(n) = 1/n^4 * (1^3 + 2^3 + ... +(n-1)^3)

B(n) = Somme [(a(i+1) - a(i)) * f(a(i+1)] i variant de 0 à n-1
B(n) = 1/n *((1/n)^3 + (2/n)^3 + .... + ((n-1)/n)^3 + (n/n)^3)
B(n) = 1/n^4 * (1^3 + 2^3 + ... +(n-1)^3 + n^3)

[armor92]

b)
A(n) = 1/n^4 * [(n-1)n/ 2]² = 1/4 * (n-1)²/n² = 1/4 * (1 - 1/n²)
B(n) = 1/n^4 * [n(n+1)/ 2]² = 1/4 * (n+1)²/n² = 1/4 * (1 + 1/n²)

c)
On doit démontrer que :

(1) A(n) est croissante
A(n+1) = 1/4 * (1 - 1/(n+1)²) > 1/4 * (1 - 1/n²) = A(n)
en effet on peut démontrer que : 1/(n+1)² < 1/n²

(2) B(n) est décroissante
B(n+1) = 1/4 * (1 + 1/(n+1)²) < 1/4 * (1 + 1/n²) = B(n) pour la même raison

(3) A(n) < B(n) démontré dans le a)

(4) Lim B(n) - A(n) = 0
n -> infini
En effet B(n) - A(n) = 1/4 * 2/n²

Les suites An et Bn sont donc adjacentes

d) Les deux suites ont même limite : 1/4
S est encadré par deux suites adjacentes de limite 1/4, donc S=1/4