Exercice sur les barycentres

[valentin0108]

Bonjour je n'arrive pas a resoudre un exercice de niveau 1ere S sur les barycentres.

On donne un triangle [A,B,C] tel que d[A,B]=d[A,C]=4a et d[B,C]=2a.

1] Soit G le barycentre du systeme [A,x], [B,1], [C,1] ou x est un nombre reel different de -2. Demontrer que quel que soit x, G est un point de la droite AI, I etant le milieu de [BC].

G barycentre de [A,x],[I,2] ce qui prouve que G,A et I sont alignes.

2] Caracteriser G quand x=-1

G barycentre de [A,1], [I,-2], alors AG=2AI , pour l'instant tout va bien.

3] G etant le point defini a la deuxieme question, montrer que quel que soit M dans le plan, on a MB²+MC²-MA²= MG²+GB²+GC²-GA².
Calculer MB²+MC²-MA² en fonction de MG² et de a.
Soit I l'ensemble des points M du plan tels que MB²+MC²-MA²= h. Calculer h pour que [i]soit le cercle de centre G passant par B.

La je n'ai aucune idee , il faut calculer GB²+GC²-GA² grace aux distances de l'enonce peut etre.

4] G etant le point defini a la deuxieme question, montrer que quel que soit M dans le plan [ et ce sont des vecteurs] MB+MC-2MA=AG. En deduire l'ensemble des points M du plan tels que MB²+MC²-MA=32a².

Merci d'avance.

[bombastus]

Bonjour,

Le 1) est correct.

Pour le 2), tu as une erreur de signe : c'est G barycentre de [A,-1], [I,2]

3] G etant le point defini a la deuxieme question, montrer que quel que soit M dans le plan, on a MB²+MC²-MA²= MG²+GB²+GC²-GA².

Il suffit d'introduire G dans le terme de gauche et c'est gagné.

Calculer MB²+MC²-MA² en fonction de MG² et de a.

Ici il faut effectivement utiliser les distances données dans l'énoncé, et à part calculer GA, GB et GC en fonction de a, je vois pas plus rapide.

[valentin0108]

Mais comment introduire G dans le terme de gauche et comment calculer GA et GB et GC ?

[bombastus]

Tu as :

Donc tu introduis G dans chaque vecteur (relation de Chasles), puis tu développes, tu regardes ce qui se simplifie, ce qui se factorise...

Pour GA et GB et GC, fais une figure :
tu peux calculer AI en fonction de a puis GA puis les autres...

[valentin0108]

merci beaucoup , il ne me manque que la question du cercle.

[bombastus]

Pour le cercle il suffit de faire la synthèse de la question 3! :id: