Exercice sur les barycentres

[MagicFalco]

Bonjour
Voilà je bloque sur un exercice sur les barycentres dont voici l'énoncé:
Dans un repère (O,I,J,K), on considère A(3;-1;2) , B(-2;2;2), C ( 4;-1;2)
et G ( -1;2;2).
Montrer que G est barycentre de A,B et C.

Mon problème est que je n'arrive pas à résoudre le système d'équations correspond à ces données.
Je trouve en effet

3a -2b +4c = -a -b -c
-a + 2b - 4c = 2a + 2b + 2c
2a + 2b + 2c = 2a + 2b +2c

En résolvant ce sytème je trouve a=-2, b= 0 et c=0 ce qui est faux

Si quelqu'un pouvait m'aider? merci d'avance

[LN1]

Bonsoir

si tu ne nous montres pas tes calculs, comment peut-on t'aider à trouver ton erreur. Remarque déjà que ta dernière équation est une évidence et résous le système

3a - 2b +4c = 2a + 2b + 2c
-a + 2b - 4c = 2a + 2b + 2c

2 équations, trois inconnues ? normal car la propriété d'homogénéité te dit que si a, b, c est solution alors ka, kb, kc marche aussi

passe tout dans un membre dans chaque équation, et tu trouveras c en fonction de a puis b en fonction de a

Bon courage

[MagicFalco]

voici ce que j'obtiens:

3a -2b + 4c = a-b-c
-a + 2b -4c = 2a+2b + 2c
2a + 2b +2c = 2a +2b+2c

d'où en additionant
3a -2b +4c -a +2b -4c +2a +2b +2c = -a -b -c +2a +2b +2c +2a+2b+2c

ce qui fait 4a + 2b +2c = 3a +3b +3c
d'ou a -b -c = 0
a = b+c

Je remplace a par b+c

3(b+c) -2b +4c = -(b+c) -b -c
-(b+c) +2b -4c = 2(b+c) +2b +2c

3b +3c -2b +4c + (b+c) +b +c = 0
-3b -3c -2(b+c) -2b -2c =0

3b +9c=0
-7b -7c = 0
d'ou b =c = 0 car 3b +9c = 0

[LN1]

tu travailles vraiment dans le désordre le plus complet.

En règle général ça ne sert à rien de faire la somme des trois équations, sinon à te donner encore une autre équation (une de plus)

Le principe, quand tu as un système, c'est de conserver les 3 équations (sauf si l'une se réduite à 0 = 0) et de remplacer progressivement une des équations par une combinaison linéaire judicieusement choisie pour éliminer dans celle-ci une inconnue.

Bref, tu tournes beaucoup en rond pour finir par une erreur de calcul :
-(b+c) +2b -4c = 2(b+c) +2b +2c
devient
b - 5c - 2(b + c) - 2b - 2c = 0 et non -3b -3c -2(b+c) -2b -2c =0

regarde comment, avec de l'organisation, ton système se résout en 3 coups

3a -2b + 4c = - a - b - c
-a + 2b -4c = 2a+2b + 2c
2a + 2b +2c = 2a +2b+2c

(on passe tout dans un membre)

4a - b + 5c = 0
-3a - 6c = 0
0 = 0

(on en déduit a en fct de c)

4a - b + 5c = 0
a= - 2c
0 = 0

(puis b en fonction de c)

b = 4a + 5c = -3c

0=0

Ceci étant, je n'ai rien à t'envier car j'ai aussi commis une erreur de frappe quand j'ai recopié ton énoncé

[MagicFalco]

je ne comprends comment déduire que G est barycentre de A B et C a partir de ces deux expressions

[LN1]

donc G est barycentre de
* pour c = 1 (A, -2), (B, -3) (C,1)
* pour c = 2 (A, -4), (B, - 6) (C ,2)
* pour c = -1 (A, 2), (B, 3) (C, -1)

il n'y a pas qu'une seule solution à ton problème (c'est la propriété d'homogénéité du barycentre qui te le rappelle): si G est barycentre de (A, a), (B, b) (C,c) alors G est aussi barycentre de (A, ka), (B, kb) (C, kc) pour tout k non nul.