Exercice sur la continuité compliqué

[JasonG]

J'ai une fonction f de R dans R tel que:


Je montrer qu'elle est continue sur R
je suis arrivé à la conclusion que f devait etre de la forme f(x)=x+b ou f(x)=-x+b, mais je ne pense pas que ce soit la bonne approche.
Je pense qu'il faut utiliser le fait que f est continue en à ssi

pour un a quelconque de R


Mais c'est flou.
Si quelqu'un a une idée

[pascal16]

si tu exprimes ce que veut dire "la limite quand x tend vers a" ça va se résoudre tout seul

[JasonG]

Est-ce que je peux dire qu'on a donc

puis je fais tendre x vers a?

[JasonG]

Je crois avoir trouvé.

Pour tout a de R, on a donc

Or

donc

Il en découle que lorsque , on a
f(x)=f(a)
Soit

Donc f est est continu sur R

Si quelqu'un peut me confirmer...

[hdci]

Bonjour,

Gobalement, c'est cela, attention à la rédaction toutefois :

Il en découle que lorsque , on a
f(x)=f(a)
Soit

Donc f est est continu sur R.

La phrase
lorsque , on a
n'a pas de sens.

Il faut écrire
lorsque , on a

ou bien

donc

[JasonG]

Merci beaucoup pour les précisions. Toutefois, j'en profite pour demander une piste de recherche pour la suite:

J'ai réussi à démontrer que tout réel possède au plus un antécedent par f.
Je dois démontrer désormais que f est strictement monotone. Je pense qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, mais j'ai le cerveau en compote!

[hdci]

Raisonner par l'absurde.

Si f n'est pas strictement monotone, alors on va trouver trois réels avec et (ou le contraire, mais cela ne change pas le raisonnement)

Faire alors un petit dessin (cela permet de bien voir ce qui se passe) et l'application du TVI apparaît clairement sur pour la valeur

[JasonG]

Est-ce que je peux utiliser le raisonement suivant:
Je fais la supposition que f n'est pas monotone (raisonnement par l'absurde)
Il existe donc un réel k tel que f(x)=k a au moins 2 solutions (en reprenant le raisonnement de hdci ci-dessus)
Or comme j'ai démontré auparavent que tout réel possède au plus un antécedent par f, il y a une contradiction.
Donc f est monotone ?

[hdci]

Trop court. Il vous faut justifier le fait que si n'est pas monotone alors il existe un réel tel que admet au moins deux solutions distinctes.

C'est justement là que vous utilisez le TVI

[JasonG]

Merci beaucoup hdci. Oui j'avais bien en tête d'utiliser le TVI pour démontrer l'éxistence de solutions multiples.

Merci beaucoup à toute l'équipe maths-forum!!! Je vous souhaite une bonne nuit!