Exercice de polynome

par **vioup** » 05 Aoû 2007, 15:58

n etant un entier superieur ou egal a 1 , on pose f(x) = 1+x+x²+x^3 + .... + x^n
1)Pour x different de 1 , donner une autre expression de f(x)
2)Utiliser ce resultat pour montrer que pour tout x different de 1 on a :

1+2x+3x²=... ... +nx^(n-1) = [nx^(n+1) - (n+1)x^n +1 ] / (1-x)²

J'ai essayer de trés nombreuses fois de resoudre cet exercice , sans succes , cela serai tres simpa de pouvoir m'aider dans la resolution de se probleme
merci d'avance

par **lapras** » 05 Aoû 2007, 16:02

salut
f(x) = 1+x+x²+x^3 + .... + x^n
x*f(x) = x + x² + ...+ x^n + x^(n+1)
x*f(x) - x^(n+1) = f(x)-1
f(x)(1-x) = 1-x^(n+1)
f(x) = (1-x^(n+1))/(1-x)

par **vioup** » 05 Aoû 2007, 16:14

merci mais lorsque tu marque x*f(x) cela signifie quoi ?
trés belle citation :zen:
tu n'as pas de piste concernant la question 2 ?

par **lapras** » 05 Aoû 2007, 16:16

Bah en fait tu multiplie les deux membres par x.
Pour la citation , c'est normal c'est de blaise pascal :++:
Pour la deuxieme j'ai pas encore d'idées mais je vais y réfléchir, là je dois y aller.

par **vioup** » 05 Aoû 2007, 16:27

Merci beaucoup , si certains ont des idées pour la question n°2 , merci de bien vouloir m'aider !

par **J-R** » 05 Aoû 2007, 16:27

bonjour,

suite géométrique de raison x ?

confirmation de la méthode de lapras (bien joué

)

a+

par **vioup** » 05 Aoû 2007, 16:37

merci de ta confirmation et de ton explication , cela me permet d'alimenter ma demonstration , par contre je bloque toujours sur la question n°2 !

par **J-R** » 05 Aoû 2007, 16:44

reconfirme moi la question 2),

on doit montrer que:

?

par **Cygnusx1** » 05 Aoû 2007, 16:45

Pour la seconde question il faut remarquer que
1+2x+3x²=... ... +nx^(n-1) = (1 + x + x² + .... +x^(n-1)) + x(1+x+x²+...+x^(n-2)) + x²(1+x+x²+...+x^(n-3))+....+x^(n-1) * 1

Si t'appelle g_n(x)=1+x+...+x^n

1+2x+3x²=... ... +nx^(n-1) = g_(n-1)(x) + x*g_(n-2)(x) + ......

Avec la question 1 tu obtiens alors le résultat

par **vioup** » 05 Aoû 2007, 16:49

les deux dernieres explications ne concordent pas , quel solution est la bonne ?
merci !

par **lapras** » 05 Aoû 2007, 16:51

Cygnusx1 >
Jolie

par **Cygnusx1** » 05 Aoû 2007, 16:53

Merci :we:

par **vioup** » 05 Aoû 2007, 16:59

Cygnusx1 peut tu m'expliquer ce que signifie g_n ??
ainsi que la fin de ta demonstration
merci beaucoup

par **emdro** » 05 Aoû 2007, 17:02

Pour la deuxième question, il suffit de dériver le résultat de la première!

par **Cygnusx1** » 05 Aoû 2007, 17:09

En effet Emdro. Bien vu.

par **J-R** » 05 Aoû 2007, 17:11

Pour la deuxième question, il suffit de dériver le résultat de la première!

c'est a dire ?

merci

par **vioup** » 05 Aoû 2007, 17:11

la derivé de x^n+1 est egal a quoi ? je n'arrive pas a le trouver dans mes cours :s

par **emdro** » 05 Aoû 2007, 17:16

Tes cours de quelle classe?

la dérivée de x^k c'est kx^(k-1).
Donc la dérivée de x^(n+1) c'est (n+1)x^n.

C'est bien ce qui devait nous faire penser à la dérivée:
1+2x+3x²... c'est la dérivée de 1+x+x²+x^3...

par **J-R** » 05 Aoû 2007, 17:26

ah d'accord fallait trouver l'astuce quoi.

a+

par **vioup** » 05 Aoû 2007, 17:28

Bon j'ai compris le raisonnement , c'est logique mais je n'arrive pas a calculer la derivé de (1-x^(n+1))/(1-x)

on est d'accord la formule c f'g-g'f/g²
donc on a (n+1)x^n ( 1-x) - ((1-x^n+1)x-1

et de la comment on arive a ce que l'on veu ? lol

Exercice de polynome

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