Exercice sur fonction polynôme du 2nD degré

[libellule03]

Determiner une fonction polynôme f du second degré telle que :
f(0) = 0 et pour tout réel x, f(x) - f(x-1) = x .

Puis en déduire que la somme des n premiers entiers est égale à f(n).


Je sais que f(x) = ax² + bx +c
et f(x-1) = a(x-1)² +b(x-1) +c.
Comment trouver a , b et c ?
Merci pour votre aide !

[Peacekeeper]

Determiner une fonction polynôme f du second degré telle que :
f(0) = 0 et pour tout réel x, f(x) - f(x-1) = x .

Puis en déduire que la somme des n premiers entiers est égale à f(n).


Je sais que f(x) = ax² + bx +c
et f(x-1) = a(x-1)² +b(x-1) +c.
Comment trouver a , b et c ?
Merci pour votre aide !

Bonsoir,

Tu sais que f(0)=0 et tu disposes d'une expression de f(x). Que peux-tu faire avec ça?

[chan79]

Determiner une fonction polynôme f du second degré telle que :
f(0) = 0 et pour tout réel x, f(x) - f(x-1) = x .

Puis en déduire que la somme des n premiers entiers est égale à f(n).


Je sais que f(x) = ax² + bx +c
et f(x-1) = a(x-1)² +b(x-1) +c.
Comment trouver a , b et c ?
Merci pour votre aide !

Salut
Ecris que f(x)-f(x-1)=x en remplaçant f(x) et f(x-1)

[libellule03]

Bonsoir,

Tu sais que f(0)=0 et tu disposes d'une expression de f(x). Que peux-tu faire avec ça?

Euh un système ?!

[Peacekeeper]

Euh un système ?!

Et remplacer x par 0 dans l'expression de f(x), non?

[ksavier]

la piste est bonne

Il ne reste plus qu'a l'exploiter

f(0)=0 te donne la valeur c=0
Pour déterminer a et b, on écrit que l'égalité polynomiale f(X)-f(X-1)-X=0 est équivalente à
l'égalité polynomiale (2a-1)X-a+b=0

Or un polynôme est nul lorsque ses coefficients le sont. Il vient a=1/2 et b=1/2.


Pour la somme des n premiers entiers consécutifs, il reste à remarquer que S(n)-S(n-1)=n où S(m) est la somme des m premiers entiers.

Donc S(n) = f(n) = 1/2*n*(n+1)

[libellule03]

Salut
Ecris que f(x)-f(x-1)=x en remplaçant f(x) et f(x-1)

donc :
(ax²+bx+c)-[a(x-1)²+b(x-1)+c] = x

[chan79]

donc :
(ax²+bx+c)-[a(x-1)²+b(x-1)+c] = x

oui, avec c=0 puisque f(0)=0
ensuite tu développes et tu mets sous la forme Ax²+Bx+C

[moslimjudge]

f(x) = ax² + bx +c
f(0)=0 ==> c=0

f(x)-f(x-1)=x ==> ax^2+bx^2-a(x-1)^2-b(x-1)=x
aprés simplification :
2ax+b-a=x
danc 2ax =x ==> a=1/2
b-a=0 ==> b=a=1/2

danc f(x)=1/2x^2+1/2x

[chan79]

f(x) = ax² + bx +c
f(0)=0 ==> c=0

f(x)-f(x-1)=x ==> ax^2+bx^2-a(x-1)^2-b(x-1)=x
aprés simplification :
2ax+b-a=x
danc 2ax =x ==> a=1/2
b-a=0 ==> b=a=1/2

danc f(x)=1/2x^2+1/2x

pas très fûté de donner directement la solution (au lieu d'aider à la trouver...) :hum:

[libellule03]

f(x) = ax² + bx +c
f(0)=0 ==> c=0

f(x)-f(x-1)=x ==> ax^2+bx^2-a(x-1)^2-b(x-1)=x
aprés simplification :
2ax+b-a=x
danc 2ax =x ==> a=1/2
b-a=0 ==> b=a=1/2

danc f(x)=1/2x^2+1/2x

J'ai bien trouvé après la simplification 2ax+b-a = x
Mais pourquoi 2ax = x ?
Sinon j'ai compris le reste

[libellule03]

pas très fûté de donner directement la solution (au lieu d'aider à la trouver...) :hum:

Merci pour votre aide, j'ai réussi à comprendre !
Un dernier service, pour la 2 )
entier n = 1 alors somme des n = 1
n = 2 alors somme des 2 = 1+2 = f(2)
n = 3 alors somme des 3 = 1+2+3 = f(3)
donc avec x= 1, f(1) - f(0) = 1
et x= 2 f(2) - f(1) = 2
Mais comment déduire ?
Merci encore

[Jota Be]

Merci pour votre aide, j'ai réussi à comprendre !
Un dernier service, pour la 2 )
entier n = 1 alors somme des n = 1
n = 2 alors somme des 2 = 1+2 = f(2)
n = 3 alors somme des 3 = 1+2+3 = f(3)
donc avec x= 1, f(1) - f(0) = 1
et x= 2 f(2) - f(1) = 2
Mais comment déduire ?
Merci encore

Est-ce que tu connais la formule de la somme des n premiers entiers d'une suite arithmétique ?

[libellule03]

Est-ce que tu connais la formule de la somme des n premiers entiers d'une suite arithmétique ?

Non je n'ai pas vu cette formule ...

[Jota Be]

Non je n'ai pas vu cette formule ...

Pas grave.
On sait que f(x)-f(x-1)=x
Ainsi, f(n)-f(n-1)=n et f(n-1)-f(n-2)=n-1 et ainsi de suite ( jusqu'à f(2)-f(1)=2 et puis f(1)-f(0)=1)
Sommer tous les entiers revient à sommer les termes f(x)-f(x-1), qui est une somme en cascade.

[libellule03]

Pas grave.
On sait que f(x)-f(x-1)=x
Ainsi, f(n)-f(n-1)=n et f(n-1)-f(n-2)=n-1 et ainsi de suite ( jusqu'à f(2)-f(1)=2 et puis f(1)-f(0)=1)
Sommer tous les entiers revient à sommer les termes f(x)-f(x-1), qui est une somme en cascade.

Ok ça j'ai compris !

[libellule03]

la piste est bonne

Il ne reste plus qu'a l'exploiter

f(0)=0 te donne la valeur c=0
Pour déterminer a et b, on écrit que l'égalité polynomiale f(X)-f(X-1)-X=0 est équivalente à
l'égalité polynomiale (2a-1)X-a+b=0

Or un polynôme est nul lorsque ses coefficients le sont. Il vient a=1/2 et b=1/2.


Pour la somme des n premiers entiers consécutifs, il reste à remarquer que S(n)-S(n-1)=n où S(m) est la somme des m premiers entiers.

Donc S(n) = f(n) = 1/2*n*(n+1)

Merci beaucoup pour votre aide !

[Jota Be]

f(n)-f(n-1)=n
f(n-1)-f(n-2)=n-1
.
.
.
f(3)-f(2)=3
f(2)-f(1)=2
f(1)-f(0)=1

Que peut-on dire de la somme des n premiers entiers ?

[libellule03]

f(n)-f(n-1)=n
f(n-1)-f(n-2)=n-1
.
.
.
f(3)-f(2)=3
f(2)-f(1)=2
f(1)-f(0)=1

Que peut-on dire de la somme des n premiers entiers ?

eh bien la somme des n premiers entiers est égale au premier membre, je ne sais pas trop comment l'exprimer f(3) = 3

[Jota Be]

eh bien la somme des n premiers entiers est égale au premier membre, je ne sais pas trop comment l'exprimer f(3) = 3

Non, je t'ai tout à l'heure parlé de sommes en cascades. En additionnant tous les membres de droite (dans mon précédent message), on obtient la somme des n premiers entiers. Cette somme vaut bien entendu la somme des membres de gauche, que nous écrivons f(n)-f(n-1)+ f(n-1)-f(n-2)+...+ f(3)-f(2)+ f(2)-f(1)+ f(1)-f(0). Tu remarques qu'il nous reste f(n)+f(0) puisque tous les autres termes se suppriment. Comme f(0)=0, il vient