Exercice nombres complexes

[Inescafe]

bonjour voici mon énoncé
dans le plan P muni d'un repéré orthonormé direct on note f la fonction qui a tout point M d'affiche z ≠ -1 associe le point M' d'affiche
z' = f(z) = –iz–2/z +1 on se propose de rechercher en utilisant deux méthodes, l'ensemble (E) des points M tels que M' appartienne à l'axe des abscisses, privé de O
A) Méthode analytique
x et y désignent deux réels tous les deux non nuls
1) développer l'expression (x+1/2)² + (y-1)²
2) on pose z= x + iy
exprimer Im(z') en fonction de x et y
3) en déduire l'ensemble (E)

B) méthode géométrique
1) démontrer que pour tout nombre complexe
z ≠ -1, z' = -iw ou w = z–2i/ z+1
2) A et B les points du plan complexe d'affixes respectives 2i et -1 donner une interprétation géométrique d'un argument de w lorsque z ≠ 2i
3) exprimer arg ( z') en fonction de arg(w)
4) déduire de ce qui précède l'ensemble (E)

A) 1) ça fait x² + x + y² -2y + 5/4
2) -i(x+iy)-2/x+iy+1 = -ix +1 -iy -2/ x +iy +1
= -1 -i(x+y)/x+1+iy
= -1- i (x+y)/ x+1+iy × x+1-iy/x+1-iy
= (-1-i(x+y))(x+1-iy)/ (x+1)²+ y²
= -x-1+iy -i (x+y) (x+1)+i(x+y) × iy
mais je ne parviens pas à séparer le réel et l'imaginaire

B) 1) je ne sais pas comment faire
2) je ne sais pas ce qu'est une interprétation géométrique
3) je ne sais pas comment leur module et donc je ne sais pas leur argument
4) je ne peux conclure

merci d'avance pour votre aide

[pascal16]

j'ai rien vérifier, juste sur ta question de séparation Re/Im :

= -x-1+iy -i (x+y) (x+1)+i(x+y) × iy
=-x-1+iy -i (x+y) (x+1) - (x+y) × y <- car i²=-1
= [ -x-1- (x+y) × y ] + i [y-(x+y) (x+1) ]

[Carpate]

tout point M d'affiche z ≠ -1 associe le point M' d'affiche z' = f(z) = –iz–2/z +1

Affiche d'un point ? C'est nouveau ?

[Inescafe]

ne fait pas semblant vous comprenez affixe

[Inescafe]

je viens de me rendre compte que j'avais faux à la deuxième question et que en réalité ça me donne
-i(x+iy)-2/x+iy+1
= -ix -i² +y -2/ x +iy +1
= -1 -ix -1 +y / x+1+iy
= -1- ix -1 +y / x+1+iy × x+1-iy/x+1-iy
= (-ix -1+y)(x+1-iy)/ (x+1)²+ y²
= -ix² -ix +i²xy -x -1 +yx +y +iy -iy² / (x+1)² +y²
= -i(x²+x+y+y²) + (-x+y-1) / (x+1)² +y²
est-ce bon comme ça ?

[aviateur]

Bonjour
Je comprends rien de rien à ton calcul
f(z) c'est bien f(z)= -i z-2/z+1?
Au moins tu pourrais vérifier par toit même que c'est faux:
f(1)=-1 -i donc x=1,y=0 doit te donner la partie imaginaire =-1 (avec toi ça fait -2)

[Carpate]

Déjà l'expression z' = f(z) = –iz–2/z +1 est incorrecte !
N'as-tu jamais entendu parler de la priorité des opérateurs ?
Ecris z' = f(z) = (–iz–2)/(z +1) ou en LateX :
J'arrive pour ma part à :

L'équation de l'ensemble (E) est donc :
(1)
On conjecture que c'est l'équation d'un cercle de centre C(a;b) et de rayon r donc d'équation
Soit :
(2)
et en identifiant (1) et (2), on trouve:




On peut aussi le faire calcul demandé en A-1) et écrire que
La méthode par identification est plus générale et ne demande pas d'astuce de calcul.

[Inescafe]

l'expression ne peux pas être fausse il s'agit de l'énoncé et mon calcul n'as rien d'incomprehensible j'ai procédé de la même manière qu'en cours

[Inescafe]

étau tout début je ne vois pas comment vous avez pu obtenir cela et qu'est ce qu'identifier?

[pascal16]

x²+y²+x-2y=0

tu peux toujours tracer la courbe sur la calculette et voir que c'est un cercle, tu as alors le centre graphiquement, puis tu vérifies algébriquement.

variante directe, on veut un forme (x-a)²+(y-b)²=r²

x²+y²+x-2y=0
<=>
x²+x + y²-2y=0
<=>
(x+1/2)²-1/4 + (y-1)²-1=0 <-----------forme canonique pour x² et y²
(x+1/2)²+(y-1)²=5/4
soit le centre (-1/2;1) et r²=5/4

[aviateur]

bonjour voici mon énoncé
dans le plan P muni d'un repéré orthonormé direct on note f la fonction qui a tout point M d'affiche z ≠ -1 associe le point M' d'affiche
z' = f(z) = –iz–2/z +1 on se propose de re

= -x-1+iy -i (x+y) (x+1)+i(x+y) × iy
mais je ne parviens pas à séparer le réel et l'imaginaire

Bonjour
Je comprends rien de rien à ton calcul
f(z) c'est bien f(z)= -i z-2/z+1?
Au moins tu pourrais vérifier par toi même que c'est faux:
f(1)=-1 -i donc x=1,y=0 doit te donner la partie imaginaire =-1 (avec toi ça fait -2)

l'expression ne peux pas être fausse il s'agit de l'énoncé et mon calcul n'as rien d'incomprehensible j'ai procédé de la même manière qu'en cours

Bien continue ainsi!!

[Carpate]

Inescafe, tu n'as pas encore réalisé que quand tu écris f(z) = –iz–2/z +1, il s'agit de
Avec les parenthèses au bon endroit, f(z) = (–iz–2)/(z +1) s'interprète en
Tu devrais réviser les règles de priorité des opérateurs et en bonus te mettre au LaTeX !

[aviateur]

Bonjour @carpate. Il y a plus que ça. En effet on devine qu'il y a des ( ) quelque part sinon le domaine cherché est une cubique et ça dépasse un peu beaucoup le niveau du posteur.
Mais si on met des parenthèses comme tu le proposes nous sommes très bien capable de voir que f est une bijection de f vers son image. Mais 0 est justement dans l'image; alors pourquoi l'exclure de la droite? Quel est l'intérêt?