Exercice Nombres complexes

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
deadinsoul
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Exercice Nombres complexes

par deadinsoul » 19 Fév 2012, 19:34

Bonjour voici l'exercice en question :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O, u, v). On prendra pour unité graphique 5 cm.
On pose z0=2 et, pour tout entier naturel n, zn+1= (1+i)/2 *zn. On note An le point d'affixe zn.

1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

2. Pour tout entier naturel n, on pose Un= lznl
Justifier que la suite (Un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier n, un = 2(1/V2)^n (V:racine)
3. A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1?

4.a. Etablir que, pour tout entier naturel n, (z(n+1)-zn)/z(n+1) = i
En déduire la nature du triangle OAnAn+1

4.b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2...An-1An
On a ainsi ln=A0A1+A1A2+...+An-1An. Exprimer ln en fonction de n.
Quelle est la limite de la suite (ln)?

Mes Réponses:

1)zo=2
z1 = (1+i)/2 * 2 = 1+i
z2 = (1+i)/2 * (1+i) = i
z3 = (1+i)/2 * i = (i-1)/2
z4 = (1+1)/2 * (i-1)/2 = -1/2

z4 est bien un réel pur.

2) C'est à ce moment que je bloque :hein:



Manny06
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par Manny06 » 19 Fév 2012, 19:48

deadinsoul a écrit:Bonjour voici l'exercice en question :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O, u, v). On prendra pour unité graphique 5 cm.
On pose z0=2 et, pour tout entier naturel n, zn+1= (1+i)/2 *zn. On note An le point d'affixe zn.

1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

2. Pour tout entier naturel n, on pose Un= lznl
Justifier que la suite (Un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier n, un = 2(1/V2)^n (V:racine)
3. A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1?

4.a. Etablir que, pour tout entier naturel n, (z(n+1)-zn)/z(n+1) = i
En déduire la nature du triangle OAnAn+1

4.b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2...An-1An
On a ainsi ln=A0A1+A1A2+...+An-1An. Exprimer ln en fonction de n.
Quelle est la limite de la suite (ln)?

Mes Réponses:

1)zo=2
z1 = (1+i)/2 * 2 = 1+i
z2 = (1+i)/2 * (1+i) = i
z3 = (1+i)/2 * i = (i-1)/2
z4 = (1+1)/2 * (i-1)/2 = -1/2

z4 est bien un réel pur.

2) C'est à ce moment que je bloque :hein:

|zn+1|=|(1+i)/2|*|zn|
calcule le module de (1+i)/2

globule rouge
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par globule rouge » 19 Fév 2012, 19:49

deadinsoul a écrit:Bonjour voici l'exercice en question :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O, u, v). On prendra pour unité graphique 5 cm.
On pose z0=2 et, pour tout entier naturel n, zn+1= (1+i)/2 *zn. On note An le point d'affixe zn.

1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

2. Pour tout entier naturel n, on pose Un= lznl
Justifier que la suite (Un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier n, un = 2(1/V2)^n (V:racine)
3. A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1?

4.a. Etablir que, pour tout entier naturel n, (z(n+1)-zn)/z(n+1) = i
En déduire la nature du triangle OAnAn+1

4.b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2...An-1An
On a ainsi ln=A0A1+A1A2+...+An-1An. Exprimer ln en fonction de n.
Quelle est la limite de la suite (ln)?

Mes Réponses:

1)zo=2
z1 = (1+i)/2 * 2 = 1+i
z2 = (1+i)/2 * (1+i) = i
z3 = (1+i)/2 * i = (i-1)/2
z4 = (1+1)/2 * (i-1)/2 = -1/2

z4 est bien un réel pur.

2) C'est à ce moment que je bloque :hein:

Salut =)
Pour la deuxième question, il faut que tu montres que .
Pour cela, comme , nous avons et ainsi de suite, et tu devrais trouver et donc que , k un réel.

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 19 Fév 2012, 19:50

deadinsoul a écrit:Bonjour voici l'exercice en question :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O, u, v). On prendra pour unité graphique 5 cm.
On pose z0=2 et, pour tout entier naturel n, zn+1= (1+i)/2 *zn. On note An le point d'affixe zn.

1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

2. Pour tout entier naturel n, on pose Un= lznl
Justifier que la suite (Un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier n, un = 2(1/V2)^n (V:racine)
3. A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1?

4.a. Etablir que, pour tout entier naturel n, (z(n+1)-zn)/z(n+1) = i
En déduire la nature du triangle OAnAn+1

4.b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2...An-1An
On a ainsi ln=A0A1+A1A2+...+An-1An. Exprimer ln en fonction de n.
Quelle est la limite de la suite (ln)?

Mes Réponses:

1)zo=2
z1 = (1+i)/2 * 2 = 1+i
z2 = (1+i)/2 * (1+i) = i
z3 = (1+i)/2 * i = (i-1)/2
z4 = (1+1)/2 * (i-1)/2 = -1/2

z4 est bien un réel pur.

2) C'est à ce moment que je bloque :hein:

Salut !

Montrer que la suite est géométrique équivaut à trouver un nombre tel que la suite de terme général soit géométrique, c'est-à-dire, montrer que pour tout , il existe un tel que .
Calcule donc .

:++:

deadinsoul
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par deadinsoul » 19 Fév 2012, 19:55

Manny06 a écrit:|zn+1|=|(1+i)/2|*|zn|
calcule le module de (1+i)/2


Un+1 = |zn+1|=|(1+i)/2*zn| = |(1+i)/2|*|zn| = V(1/2) * |zn| = 1/V2 * |zn|

deadinsoul
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par deadinsoul » 19 Fév 2012, 19:56

Dinozzo13 a écrit:Salut !

Montrer que la suite est géométrique équivaut à trouver un nombre tel que la suite de terme général soit géométrique, c'est-à-dire, montrer que pour tout , il existe un tel que .
Calcule donc .

:++:

La raison q de cette suite est donc 1/V2 ?

globule rouge
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par globule rouge » 19 Fév 2012, 19:58

Dinozzo13 a écrit:Salut !

Montrer que la suite est géométrique équivaut à trouver un nombre tel que la suite de terme général soit géométrique, c'est-à-dire, montrer que pour tout , il existe un tel que .
Calcule donc .

:++:

Salut Dinozzo ! =)
Je croyais pourtant que calculer n'était pas bon en soi. D'après mes profs, il faut plutôt déduire que , non ?

=) Julie

Manny06
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par Manny06 » 19 Fév 2012, 20:03

globule rouge a écrit:Salut Dinozzo ! =)
Je croyais pourtant que calculer n'était pas bon en soi. D'après mes profs, il faut plutôt déduire que , non ?

=) Julie

oui la raison est 1/V2
ensuite tu appliques la formule
Un=U0*q^n

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 19 Fév 2012, 20:04

Salut Globule rouge :)

Oui c'est vrai, je préfère aussi privilégier , mais dans ce cas-ci j'ai voulu donner une approche un peu plus intuitive, mais bon dans ce cas_ci ça n'a pas une importance cruciale.

Ok. Donc est une suite géométrique de premier terme et de raison donc, quel que soit l'entier naturel :

deadinsoul
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par deadinsoul » 19 Fév 2012, 20:07

Dinozzo13 a écrit:Salut Globule rouge :)

Oui c'est vrai, je préfère aussi privilégier , mais dans ce cas-ci j'ai voulu donner une approche un peu plus intuitive, mais bon dans ce cas_ci ça n'a pas une importance cruciale.

Ok. Donc est une suite géométrique de premier terme et de raison donc, quel que soit l'entier naturel :


Ah oui sayai je voie Un=Uo*q^n = 2(1/V2)^n Merci :)

Pour la 3) je calcul quelque terme z6 z7 ... puis leur module pour voir a quel moment la distance 0 zn est = au rayon demandé ?

Manny06
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par Manny06 » 19 Fév 2012, 20:12

deadinsoul a écrit:Ah oui sayai je voie Un=Uo*q^n = 2(1/V2)^n Merci :)

Pour la 3) je calcul quelque terme z6 z7 ... puis leur module pour voir a quel moment la distance 0 zn est = au rayon demandé ?

tu dois résoudre 2(1/V2)^n=20
passe au logarithme pour résoudre

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 19 Fév 2012, 20:12

Oui, tu peux faire ça. Toutefois, si ton rang n_0 vaut 1001, tu vas mettre un temps fou pour trouver le fameux rang.
Dis que le point d'affixe appartient au disque de centre O (l'origine du repère) et de rayon si et seulement si son affixe vérifie , ou encore, cela revient à trouver tel que .
résoud donc l'inéquation : en passant par le logarithme népérien :+++:

deadinsoul
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par deadinsoul » 19 Fév 2012, 20:22

Dinozzo13 a écrit:Oui, tu peux faire ça. Toutefois, si ton rang n_0 vaut 1001, tu vas mettre un temps fou pour trouver le fameux rang.
Dis que le point d'affixe appartient au disque de centre O (l'origine du repère) et de rayon si et seulement si son affixe vérifie , ou encore, cela revient à trouver tel que .
résoud donc l'inéquation : en passant par le logarithme népérien :+++:


J'ai une simple question vous dite |zn|<ou=0,1 mais il faut que les points soient sur le cercle ou même a l'interieur ?

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 19 Fév 2012, 20:30

Ben, étant donné que ce n'est pas précisé dans l'énoncé, on considère que le disque comprend aussi la bordure (donc le cas =)

Manny06
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par Manny06 » 19 Fév 2012, 20:40

deadinsoul a écrit:J'ai une simple question vous dite |zn|<ou=0,1 mais il faut que les points soient sur le cercle ou même a l'interieur ?

le disque est la surface delimitée par le cercle
s'il est fermé on prend aussi le cercle
s'il est ouvert on ne prend que l'intérieur

deadinsoul
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par deadinsoul » 19 Fév 2012, 20:40

Dinozzo13 a écrit:Ben, étant donné que ce n'est pas précisé dans l'énoncé, on considère que le disque comprend aussi la bordure (donc le cas =)


Un<ou= 0,1
2(1/V2)^n <= 0,1
1/V2^n <= 0,05

A ce moment là je ne sais pas trop comment utiliser ln :marteau:

globule rouge
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par globule rouge » 19 Fév 2012, 20:42

deadinsoul a écrit:Un<ou= 0,1
2(1/V2)^n <= 0,1
1/V2^n <= 0,05

A ce moment là je ne sais pas trop comment utiliser ln :marteau:

tu sais que

deadinsoul
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par deadinsoul » 19 Fév 2012, 21:01

globule rouge a écrit:tu sais que


n<= (ln0,05)/(ln1/V2)
n<=8.64
Donc a partir de z9 ?

deadinsoul
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par deadinsoul » 19 Fév 2012, 22:01

globule rouge a écrit:tu sais que


Ou a parti du rang n0=8 ?

Manny06
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par Manny06 » 20 Fév 2012, 00:39

[quote="deadinsoul"]n=8,64 et n entier donc n>=9

 

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