Exercice nombres complexes

[Lostounet]

Salut,

Que vaut arg(uv) avec u et v deux complexes, en fonction de arg(u) et arg(v) ?

[Lostounet]

Oui.

Sachant que X^5=1 passe à l'argument.

[mathelot]

Selon mes souvenirs : arg ( u*v ) = arg(u) + arg(v)

modulo

[Lostounet]

Bonsoir, désolé de l’absence je n'ai pas put reprendre le sujet ... Lostounet je n'ai pas compris ce à quoi tu voulais que j'arrive ... tu peux me détailler ?

On sait que modulo 2 pi,
Arg(uv)=arg(u) + arg(v)

Donc arg(z^5)=arg(z*z*z*z*z)= arg(z)+arg(z)+arg(z)+arg(z)+arg(z)
= 5 arg(z).

Si z^5=1 alors arg(z^5)=arg(1)
Donc 5 arg(z)=...

[Lostounet]

5 arg ( z ) = arg ( 1 ) = 0 , c'est bon ?

Oui.
Par contre le modulo 2 pi est important.

[Lostounet]

En fait c'est pas juste une question de rédaction le modulo 2 pi ou pour faire chier. Il est important car si par exemple a est un angle avec a=0(mod 2pi) cela signifie que a est un multiple de 2 pi.

Donc il existe un entier relatif k tel que a = 0+ k*(2pi).
(Pourquoi je mets 0+... c'est pour te dire que si on avait a=b(mod 2pi) ce serait a=b+(2pi)*k )

Si tu dis a=0(mod 2 pi) cela ne veut pas dire que a est égal à 0.
Cela pourrait être le cas, mais on pourrait tout aussi avoir a=2pi ou a=4pi.
Comprends-tu?

En fait l'utilité de la notion est d'alléger les écritures. Tu as vu qu'on avait une infinité d'arguments possibles pour un nombre complexe donné (il suffit d'ajouter 2 pi à l'argument, ie faire un tour complet pour avoir un autre argument). On en a pas qu'un seul! (Par contre on en a un seul compris entre 0 et 2 pi ...cf notion de mesure principale).

Bref, dire que 5 arg(z) = 0 (mod 2 pi) signifie qu'il existe un entier k relatif tel que 5 arg(z) = 2pi*k
Donc arg(z)=2*pi*k/5 avec k un entier relatif quelconque.

Le truc c'est que par exemple k=1 donne arg(z)=2pi/5
Et k=6 donne arg(z)=12pi/5 = 2pi/5 + 2pi

Si tu fais un dessin, tu verras que ces deux points sont au même endroit...

On doit donc choisir k tel que 0 <= 2kpi/5<= 2pi
Afin que arg(z) soit compris entre 0 et 2 pi.

[Lostounet]

Hm..
Tu devrais répondre à la question que je t'ai posée à la fin du message précédent pour répondre à la 2b. C'est à dire trouver les valeurs de k qui conviennent et donc les arguments de z possibles entre 0 et 2 pi.

[Lostounet]

Oui ! Enfin presque. Soyons précis; ils demandent que arg(z) soit dans [0;2pi[ ouvert donc k tel que 0 <= 2kpi/5< 2pi

En multipliant les trois membres par 5/2pi on obtient: 0<=k <5
Donc k = 0, 1 , 2 , 3 , 4

Ainsi les valeurs de arg(z) dans cet intervalle sont 0, 2pi/5, 4pi/5, 6pi/5 et ... 8pi/5.

[Lostounet]

Ah oui effectivement j'avais fais ça de tête .. 5 n'est donc pas inclus, merci .

Une piste pour la question 3 ?

Il n'y a jamais qu'une seule méthode.
Qu'as tu essayé par exemple pour montrer que les xk sont solution de l'équation?

[Lostounet]

Bon, pour t'aider un peu plus.

On sait que partant de X^5 = 1, avec on a prouvé que |X| = 1 et que arg(X) est parmi 0, 2pi/5, 4pi/5, 6pi/5 et 8pi/5.

Donc par exemple, lorsque k = 1, si on met X sous forme exponentielle, on trouve:
.
Ce qui signifie que la solution x_1 (correspondant à k = 1) est telle que:

. En remplaçant |X| par 1 et en effectuant les produits en croix, tu peux isoler . Cette méthode est valable pour tous les x_k avec k dans {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

Par contre, une remarque: que se passe-t-il quand k est nul ? Pourquoi k = 0 ne figure pas dans l'énoncé ?
Je te laisse réfléchir.

[Lostounet]

Bon courage, tiens-moi au courant

[Lostounet]

C'est l'idée.
Pour tout x différent de i, X = (x + i)/(x - i) est bien défini.
Par contre, il faudrait peut-être regarder si x = i est solution ou pas de l'équation ; je veux dire celle ci: P(X) = 0. Si jamais c'est le cas, on en louperait une.

Mais bon.
Donc ici, as-tu réussi ?

[Lostounet]

Ensuite pour isoler x_1 je suis dessus ... Au niveau de ma rédaction , dois-je généraliser avec x_k ou un seul exemple suffit ? Merci

Le cas général, pour tout k dans {1 ; 2 ; 3 ; 4}, c'est mieux pour la rédaction.
Tu peux commencer par: soit k appartenant à {1 ; 2 ; 3 ; 4}.
Alors ....

Par contre je ne devrais pas t'aider à isoler le x_1. C'est un simple produit en croix, et tu dois mettre tout d'un même coté et prendre x_1 en facteur... C'est basique.

[Lostounet]

Je viens de vérifier si i était solution de P(X) = 0 , il ne l'est pas, en calculant je trouve 32 i ... de toutes manières je pense que ce n'est pas demandé ..

Si c'est demandé implicitement dans la question 1. "montrer que l'ensemble des solutions de... est celui de..".
Avant de diviser par (x - i) tu devrais y vérifier si x = i est solution ou pas.

Bref, concernant ce x_1, je vais te "rappeler sur un exemple'.

Comment tu fais pour résoudre:
? C'est exactement la même chose...

[Lostounet]

[Lostounet]

Avec k = 1, k = 2, k = 3 et k = 4, c'est exactement la même chose.
Donc on laisse l'indice k pour dire que c'est pareil dans tous les cas.

Donc juste pour te rappeler le cheminement/ la logique de la question:
Soit X un complexe qui est tel que X^5 = 1.

On a prouvé alors que |X| = 1 et que Arg(X) est de la forme exp(2ipi*k/5) avec k dans {0; 1 ; 2 ;3 ;4}

Ainsi, X a pour forme exponentielle X = |X| exp(2ipi*k/5) = exp(2ipi*k/5)

Posons X = (x_k + i)/(x_k - i).

Si X^5 = 1, alors (x_k + i)/(x_k - i) = exp(2ipi*k/5)
On résout cette équation par produits en croix et on extrait x_k.

[Lostounet]

D'accord je vois, pour la question suivante j'arrive à la faire par contre j'arrive pas à écrire sur le site sous forme d'équation donc désolé pour la lisibilité ...


x_k = i * (e^i*k*pi/e^i*k*pi) * [(e^i*k*pi) + 1/(e^i*k*pi) ] / [(e^i*k*pi) + 1/(e^i*k*pi) ] est-ce correct ?

Oui c'est exact mais tu as oublié les /5, et on peut aussi l'écrire (en simplifiant haut et bas par e^ikpi/5 :

[Lostounet]

Oui, exact

[Lostounet]

D'accord, selon toi pour cette question on ne peut pas aller plus loin ?

Pour la suivante, en utilisant la formule d'Euler : cos(o) = (e^io + e^-io ) / 2 comment faire pour obtenir le résultat voulu ?

Non, on n'a pas besoin d'aller plus loin (la technique de l'angle moitié est classique, tu verras pourquoi).

Il faut que tu essayes d'utiliser les deux formules d'Euler, qui sont:



Pour exprimer le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue à la question précédente en fonction de cos(theta) et sin(theta).
Qui joue le rôle de "" ?

[Lostounet]

k*pi / 5, logiquement

Exactement...
Par exemple le numérateur peut se remplacer par:

A toi de voir le dénominateur...