Exercice GEOMETRIE

[thymaths]

Bonsoir,
J'ai un exercice à faire et je n'arrive pas à le terminer.
Merci d'avance !
Énoncé :

Sur la figure ci-dessous, le triangle ABC est rectangle isocèle en A.

On donne BC = 8
Soit I le milieu de [BC] et M un point de segment [BI].
Le quadrilatère MQPN est un rectangle, où N est un point du segment [AB],
P est un point du segment [AC] et Q un point du segment [BC].
1) Démontrer que MN = BM puis que BM = QC.
2) On pose BM = x
a) Pourquoi le réel x appartient-il à l'intervalle [0;4]
b) Exprimer les dimensions MQ et MN en fonction de x
c) Démonter que l'aire du rectangle MQPN notée f(x) est égale à 8x-2x²
3)Tracer la courbe f(x) sur votre calculatrice pour x [0;4]
Par lecture graphique quel semble être le tableau de variation de f ?
Et quel semble être le maximum M de f et en quelle valeur a est-il atteint ?
4) Démontrer par le calcul de M = f(a) et que M - f(x) est toujours positif.
(On pourra factoriser, puis utiliser une identité remarquable)
Que peut-on en déduire ?

Ce que j'ai trouvé :
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1) Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi médiatrice de la base : on a donc [AI] perpendiculaire à [BC].
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles : Si [AI] perpendiculaire à [BC] et [MN] perpendiculaire à [BC] (le quadrilatère MNPQ étant un rectangle) alors [AI] et [MN] sont parallèles.
On peut donc utiliser le théorème de Thalès :
BMN N appartient à [AB] et M appartient à [BI]
sont deux triangles tels que : B sommet commun
BIA [MN] parallèle à [AI]
D'après le théorème de Thalès, on a MN/AI = NN'/BI = BN/BA
Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet principal mesurant la moitié de l'hypothènuse, et sachant que I est le milieu de [BC], on a AI = BI = 1/2 BC
On a donc MN/AI = BM/BI avec AI = BI
On peut en déduire BM = MN

Pour prouver que BM = QC, on utilise le théorème de Thalès :
CIA P appartient à [AC] et Q appartient à [CI]
sont deux triangles tels que : C sommet commun
CQP [PQ] parallèle à [AI]
On a donc CQ/CI = CP/CA = PQ/AI
On sait que AI = CI = BI = 1/2 BC et que BM / BI = MN / AI
On en déduit que BM = MN = PQ = QC

2)a) Sachant que x est une longueur, sa valeur minimale est 0, de plus x appartenant au segment BC segment et sachant qu'il y a deux fois x sur ce segment (BM = QC = x), il y a deux fois cette longueur x, la valeur maximale de x est BC/2 soit 8/2 = 4
On a donc bien 0<ou= x <ou= 4

b) Sachant que BM = x et que BM = MN, on peut dire que MN = x
On peut exprimer MQ comme BC - (BM + QC), on sait que BM = QC = x ; on a donc MQ = BC - 2x
MQ = 8-2x

c) Le quadrilatère MNPG étant un rectangle, son aire est donc égale à la longueur multipliée par la largeur :
f(x) = MQ * MN
f(x) = (8 - 2x) * x
f(x) = 8x - 2x²
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Et à partir de la 3, je bloque...
Merci de vos aides qui me seront précieuses.