Un curieux exercice de géométrie - application du produit ve

[Dinozzo13]

Bonjour, aujourd'hui, je suis tombé sur un exercice aussi bien spécial qu'intéressant, j'en profite donc pour le partager avec vous :++:. Il ne doit pas être du niveau lycée mais traite simplement de deux notions : le produit scalaire et le produit vectoriel.
Pour ceux qui découvrent :
- le produit scalaire : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire
- le produit vectoriel : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel
Voici l'énoncé :
Soient et deux éléments quelconques. Peut-on toujours trouver deux vecteurs , tels que :
et ?
Si oui, existe-t-il un moyen de déterminer et ?

Là, je ne sais pas du tout comment commencer, c'est un type d'exercice que je n'ai jamais traiter. Donc si vous avez des idées.

[Ben314]

Salut,
Ton problème admet toujours une infinité de solution.
Par contre, si tu fixe un vecteur non nul et orthogonal à , il existera un unique vecteur vérifiant les conditions...

[benekire2]

euh, je n'ai jamais traiter du produit vectoriel, mais j'aurais tendance à les décomposer, du genre u.v=||u||X||v||Xcos(u,v) et u^v=||u||X||v||Xsin(u,v)
( il me semble que c'est cela pour le produit vectoriel....

[Ben314]

La première formule :
u.v=||u||X||v||Xcos(u,v)
est juste, mais la deuxième :
u^v=||u||X||v||Xsin(u,v)
est fausse : u^v est un vecteur de R^3. ta formule est celle qui donne la norme de u^v (et, selon le contexte, il peut être utile de mettre une valeur absolue au sinus)

P.S. si tu veut faire la preuve par des calculs, pour et fixés (avec ), tu peut prendre une base orthonormée directe dans laquelle et (avec ) et tu cherche en utilisant les formules calculatoires du produit scalaire et du produit vectoriel...

[benekire2]

oui désolé je parlais de la norme ... du vecteur orthogonal aux deux autres issu du produit vectoriel

enfin bref, je parle de quelque chose que je n'ai pas encore étudié alors je vais m'abstenir :id:

[Dinozzo13]

Salut,
Ton problème admet toujours une infinité de solution.
Par contre, si tu fixe un vecteur non nul et orthogonal à , il existera un unique vecteur vérifiant les conditions...

D'accord, existe-t-il des cas particulier ?

[Ben314]

le seul cas particulier que je voit est celui où le vecteur est nul.
Par contre, le fait que le réel a est nul ne représente pas un cas vraiment particulier.

[Zweig]

Perso, ce que je sais, c'est qu'aux vecteurs a et b fixés, on montre que l'ensemble des solutions de a/\x=b est S = {x0 + ra}, avec r un réel quelconque et x0 = r'*a/\b, ssi a et b sont orthogonaux. Dans le cas contraire, il n'y a pas de solutions.

Après pour ton problème, j'pense pas que ça puisse servir.

[Huppasacee]

Bonjour


si le produit vectoriel donne le vecteur a , on a

en norme :
||a|| = ||u||*||v ||*sin (u,v)

les vecteur u et v seront orthogonaux au vecteur a , donc première condition

donc si le vecteur u est fixé, l'extrémité du vecteur v sera sur une parallèle au vecteur u

de plus , si le produit scalaire est égal à alpha

en norme

alpha = ||u||*||v ||*cos(u,v)

on peut donc en tirer la tangente de l'angle , puis la norme de v

[Dinozzo13]

Perso, ce que je sais, c'est qu'aux vecteurs a et b fixés, on montre que l'ensemble des solutions de a/\x=b est S = {x0 + ra}, avec r un réel quelconque et x0 = r'*a/\b, ssi a et b sont orthogonaux. Dans le cas contraire, il n'y a pas de solutions.

Après pour ton problème, j'pense pas que ça puisse servir.

Te connaissant, je n'en doute pas :++:

Auriez-vous un exercice d'application assez simple de cet exo pour m'entrainer ?

[Billball]

sur le produit vectoriel?

[Dinozzo13]

oui, mais simple alors, je débute

[Billball]

perso, en maths pur je sais pas si c'est utilisé (c'est pas ma branche)... par contre en physique c'est courant !et pis c'est comme calculé une dérivée.. c'est un outil comme un autre !

genre tu saurais calculer :

^ et ^

avec

= (1 ; -2 ; 3)
= (4 ; 0 ; -3)

ou encore :

soit triédre indirect

que vaut :

^
^
^

c'est la base je sais, mais comme je t'ai dis c'est qu'un outil (du moins en physique ..)

[Dinozzo13]

Excuse-moi, j'étais occupé, alors :
pour le début, je pense savoir :


Ce que je qualifierai de normal étant donné que le produit vectoriel est anticommutatif :++:.
Voilà, je trouve :



Ai-je bon ?

Juste une précision, quand tu dis il s'agit de coordonnées ou de composantes ? Quelle est la différence de notation entre les deux ?

[Dinozzo13]

Ah si, je crois que j'ai toruvé pour l'histoire du trièdre indirect, attends ma réponse :++: .

[Dinozzo13]

Voilà, je trouve :



Ai-je bon ?

[Dinozzo13]

Excuse-moi, j'étais occupé, alors :
pour le début, je pense savoir :


Ce que je qualifierai de normal étant donné que le produit vectoriel est anticommutatif :++:.
Ensuite, je trouve :



Ai-je bon ?

J'ai deux questions :
:we: Juste une précision, quand tu dis il s'agit de coordonnées ou de composantes ? Quelle est la différence de notation entre les deux ?
:we: Quand tu dit est un trièdre indirect que signifient et , sont-elles des segments des vecteurs ou quoi ?

[Billball]

bah pour te répondre, (il me semble..) que la différence entre les deux vient que les coordonnées du vecteur ne sont jamais identique suivant le repére dans lequel on se place (on a l'habitude de se placer en 0;0;0 mais on pourrait trés bien placer l'origine en 1;2;3 ) , ce qui n'influe pas sur les composantes qui elles sont tjs idem !

bah ca me semblait clair pourtant, désolé de l'imprécision, repére indirect : ton repére tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, regarde en dessous :

[Billball]

soit, je te laisse corriger ^^
(r1 ^ r2 et r2 ^ r1 sont bons)

[Dinozzo13]

bah ca me semblait clair pourtant, désolé de l'imprécision, repére indirect : ton repére tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, regarde en dessous :

Oui, je l'ai vu, j'ai dû faire une erreur de calcul