Exercice fonctions exponentielles

[Pierre4]

Bonjour,
j'ai un peu de mal à répondre à certaines questions d'un exercice,pourriez-vous m'aider?L'exercice est relativement long néanmoins ne vous découragez pas^^.Voici l'énoncé:

Partie I

Soit k un réel fixé tel que 00 xk e-k>0 les limites sont de signes contraires donc d'après le théorème de la bijection, il existe une seule solution sur ]-infini;1[.
De même sur ]1;+infini[ f croissante et continue
lim en 1=e-k et lim en +infini=-infini
signes contraires une solution sur cet intervalle

b)Montrer que:
exp(Ak)-k*(Ak)=(exp(Ak)-k)((Ak)-1)
De même avec Bk
exp(Bk)-k*(Ak)=(exp(Bk)-k)((Bk)-1)



(exp(Ak)-k)((Ak)-1)= exp(Ak)*(Ak)-exp(Ak)-k*(Ak)+k=exp(Ak)[(Ak)-1+k/(exp(Ak))]-k*(Ak)
à partir de la je ne sais pas comment prouver que [(k)-1+k/(exp(k))] est égal à 1

c)Determiner une valeur approchée de Alpha 1 Beta 1 et Beta 2.
ici je ne sais comment faire car on ne connait pas la valeur de k .

4)Préciser le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
Il me faudrait les racines pour pouvoir expliquer.

Partie II

1)soit u la fonction de la variable réelle x définie sur IR par u(x)=e^x -kx.
a)Calculer u'
Montrer qu'il existe un réel a tel que e^a=k
En déduire le signe de u', puis le sens de variation de u

u'(x)=e^x -k
alors ici il faut utiliser le théorème de la bijection non?(si c'est le cas il faut trouver les variations de e^x -k)
la fonction est décroissante jusqu'au réel a puis croissante

b)Justifier la propriété suivante: pour tout réel x on a ,
e^x -kx>0 comme u' est tjrs positive et que le minimum est un réel a>0 la relation est correcte .Si vous avez une meilleure explication n'hésitez pas car je ne crois pas que la mienne soit parfaitement juste.

2)Soit gk la fonction définie sur IR par:
gk(x)=(e^x -k)/(e^x -kx)
a)Determiner les limites de gk en + et - infini

lim en +infini=1
lim en -infini=0 car lim e^x -kx=+ et lim e^x -k=-k

b)Prouver que gk'(x)=(kf(x))/(e^x -kx)^2
j'ai trouver ce résultat je vous fais part des détails^^.

c)en déduire le tableau de variation

ce sont les mêmes variations que f(x) avec un maximum en gk(1)=1

3)On nomme Mk et Nk les points de la courbe d'abscisse respectives k et k.
a) en utilisant la question 3.b(partie 1)montrer que:
gk(Ak)=1/((Ak)-1)

Je ne sais pas comment faire
b)de même pour gk(Bk)
si vous me montrez l'un je vous montre l'autre....

c)déduire,lorsque k varie,les points Mk et Nk sont sur une coursbe fixe H dont on donnera l'équation.
je n'ai pas trouvé de réponse non plus.

4)a) déterminer la position relative des courbes C1 et C2
Elles admettent une tangente au même endroit mais comment le prouver...

b)Prouver que Alpha 2=0
pas trouver non plus

Je bloque seulement vers la fin de chaque partie donc si vous pourriez m'aider à compléter.
Je vous remercie d'avance pour le temps que vous me consacrez.