Voici l'exercice :
On se propose de démontrer qu'il existe une unique fonction f dérivable sur R vérifiant les conditions suivantes : f(-x)*f'(x)=1 pour tout réel x.
f(0)=-4
et de determiner cette fonction.
Partie A : (On suppose qu'il existe une fonction f satisfaisant les conditions énoncées).
1) Démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur R.
2) On considère la fonction g définie sur R par g(x) = f(-x)*f(x).
a) Déterminer la fonction dérivée de g.
b) En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.
3) On considère l'équation différentielle (E) : y'=(1/16)*y . Démontrer que f est solution de cette équation et qu'elle vérifie f(0)=-4
Partie B :
1) En supposant qu'une fonction f vérifie la condition (C), déterminer l'expression de f(x).
2) Vérifier que cette fonction f vérifie bien les conditions énoncées.
Voici maintenant mes réponses ou mes pistes que j'ai trouvées (attention elles sont peut-être fausses) :
Partie A :
1) J'ai pensé à une fonction paire où f'(-x)=-f'(x) je trouve donc -f'(x)=-1/(f(-x)) mais je suis à court d'idée après (mon but étant à la fois de répondre à la question et de montrer que f est paire).
2) a) Si f est bien une fonction paire et, par conséquent, que f(-x)=f(x) alors : g'(x) = f'(-x)*f(x)+f(-x)*f'(x) = -f'(x)*f(-x)+1 = -1+1 = 0
b) Puisque g'(x)=0 alors g(x) est constant et sachant g(x)=f(-x)*f(x) alors g(0) = f(0)*f(0) = (-4)*(-4) = 16. Donc g(x)=16
La question 2, pour moi, repose sur la question 1 et c'est à celle-ci que je suis coincée (ou, si vous préférez, que je n'arrive pas à démontrer ce que je souhaite).
3) L'équation que j'ai trouvée est (E) : y= -4*e^(x/16)
Partie B :
1) Alors là, j'avoue que je suis aussi bloqué, j'ai cherché à passer de f(-x)*f'(x)=1 à y'=(1/16)*y (voir question 3 partie A) mais je ne trouve rien...
2) Evidemment, étant donné que je n'ai pas trouvé la réponse à la première question je suis un peu coincé. :we:
Si vous pouviez m'aider (sans forcément me donner les réponses si vous ne voulez pas) ça m'arrangerait beaucoup :help:
Merci d'avance :zen:
